Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 60 kNP2​ = 35 kNABCRB​ = ?4 m3 m3 m

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 7 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 7 mAC = 10 mP1 = 60 kN w 4 mP2 = 35 kN w 10 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w0​ = 12 kN/mP = 75 kNABMA​ = ?3 m7 m

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie liniowo zmienne o wartości 12 kN/m przy ścianie, malejące do zera na swobodnym końcu B, oraz siłę skupioną P w odległości 3 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.

L = 10 mw0 = 12 kN/mP = 75 kN w 3 m
MA = kN·m
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
P1​ = 80 kNP2​ = 10 kNABC3 m1 m1 m

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P1 między podporami i siłę skupioną P2 w C. Wyznacz moment zginający Mx pod siłą P1. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP1 = 80 kN w 3 mP2 = 10 kN w 5 mpodpory w x = 0 i x = 4 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 3 kN/mP = 50 kNABprzekrój1 m3 m4 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 50 kN w 4 mw = 3 kN/m od 0 do 8 mx = 1 m
Mx = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB60 kN4 m3 m4 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 4 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 60 kN
FAB = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH35 kN10 kN10 kN20 kN25 kN40 kN4 × 4 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 35 kN ↓C: 10 kN ↓F: 10 kN ↓G: 20 kN ↓H: 25 kN ↓H: 40 kN ←
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
7.Ugięcie belkiŚredni
P = 26 kNABδ1 m2 m

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δP pod siłą.

P = 26 kNa = 1 mL = 3 mE = 200 GPa (stal)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 10 kN/mP = 16 kNδL = 3 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δmax.

P = 16 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 1 md = 25 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
P = 45 kNL = 2 md = ?przekrój poprzeczny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 45 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 45 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (stal)
d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 84,29 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣMA = 0: RB·7 = 60·4 + 35·10
RB = 590/7 = 84,29 kN

Równowaga sił pionowych

RA = 60 + 35 − 84,29 = 10,71 kN

Odpowiedź

RB = 84,29 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: MA = 425 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową RA i moment utwierdzenia MA. ΣFy = 0 daje RA, a momenty względem ściany dają MA = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·12·10 = 60 kN
x̄ = L/3 = 3,333 m

Moment względem ściany

MA = W·x̄ + P·a = 60·3,333 + 75·3 = 425 kN·m

Odpowiedź

MA = 425 kN·m
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 52,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.

ΣMA = 0: RB·4 = 80·3 + 10·5
RB = 290/4 = 72,5 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 72,5 = 17,5 kN

Przekrój pod P1, zostaw lewą część

Mx = RA·3 = 17,5·3 = 52,5 kN·m

Odpowiedź

Mx = 52,5 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 35,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·4 + 3·8·4
RB = 296/8 = 37 kN
ΣFy = 0: RA = 74 − 37 = 37 kN
w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​ = 37RB​ = 37przekrój1 m3 m4 m

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 37·1 − 3·1·0,5 = 35,5 kN·m

Odpowiedź

Mx = 35,5 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAB = −18,75 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 45 = 15 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15/0,8 = −18,75 kN

Odpowiedź

FAB = −18,75 kN (ściskanie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 43,33 kN (T), BC: 43,33 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 50 kN (T), FG: 106,7 kN (C), GH: 106,7 kN (C), AF: 104,2 kN (C), HE: 62,5 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 29,17 kN (T), HC: 20,83 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δP = 6,797 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 26000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δP = Pa²b²/(3EIL) = 26000·1000²·2000²/(3·1,7 × 10¹²·3000) = 6,797 mm

Odpowiedź

δP = 6,797 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 4,899 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 16000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δP = PL³/(48EI) = 16000·3000³/(48·3,99 × 10¹²) = 2,256 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 2,643 mm

Dodaj

δmax = 2,256 + 2,643 = 4,899 mm

Odpowiedź

δmax = 4,899 mm
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 13,25 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·1000 = 1000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13,25 kN

Odpowiedź

Pcr = 13,25 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 36,73 mm

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Wymagana siła krytyczna

Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 36,73 mm

Odpowiedź

d = 36,73 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 152,5, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis