Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P = 25 kNM = 40 kN·mABRB​ = ?1 m1 m8 m

Belka swobodnie podparta ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Przenosi siłę skupioną P w odległości 2 m od A i moment skupiony M działający zgodnie z ruchem wskazówek zegara, przyłożony w odległości 1 m od A. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

L = 10 mP = 25 kN w 2 mM = 40 kN·m (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) w 1 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w0​ = 8 kN/mP = 65 kNABMA​ = ?3,5 m1,5 m

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie liniowo zmienne o wartości zero przy ścianie, rosnące do 8 kN/m na swobodnym końcu B, oraz siłę skupioną P w odległości 3,5 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.

L = 5 mw0 = 8 kN/mP = 65 kN w 3,5 m
MA = kN·m
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
P1​ = 10 kNP2​ = 75 kNAB4 m3 m3 m

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 10 mP1 = 10 kN w 4 mP2 = 75 kN w 7 m
Mmax = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
15 kN40 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

15 kN @ 0 m40 kN @ 12 m20 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABCDEFGH35 kN15 kN35 kN25 kN30 kN4 × 3 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 35 kN ↓D: 15 kN ↓F: 35 kN ↓G: 25 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt BG
  13. 13pręt DG
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH25 kN30 kN4 × 4 m4 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 25 kN ↓F: 30 kN →
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt BG
  13. 13pręt DG
7.Ugięcie belkiŚredni
P = 14 kNABδ2,5 m1,5 m

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 2,5 m od A. Wyznacz ugięcie δP pod siłą.

P = 14 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 6 kN/mδL = 6 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności Ireq, który spełnia ten warunek.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 5 m40 × 80 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 6 md = 40 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 6 mE = 200 GPa (stal)d = 40 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 9 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣMA = 0: RB·10 − 25·2 − 40 = 0
RB = 90/10 = 9 kN

Równowaga sił pionowych

RA = 25 − 9 = 16 kN

Odpowiedź

RB = 9 kN

Ujemna reakcja działa w dół.

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: MA = 294,2 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową RA i moment utwierdzenia MA. ΣFy = 0 daje RA, a momenty względem ściany dają MA = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·8·5 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Moment względem ściany

MA = W·x̄ + P·a = 20·3,333 + 65·3,5 = 294,2 kN·m

Odpowiedź

MA = 294,2 kN·m
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 169,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣMA = 0: RB·10 = 10·4 + 75·7
RB = 565/10 = 56,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 56,5 = 28,5 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P1: M = RA·4 = 28,5·4 = 114 kN·m
pod P2: M = RB·3 = 56,5·3 = 169,5 kN·m

Największa wartość

Mmax = 169,5 kN·m (pod P2)

Odpowiedź

Mmax = 169,5 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: F (x = 10 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R1 = 13,75 kN, R2 = 61,25 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

MA = 0, MB = −30, MC = −32,5, MD = −35, ME = −37,5, MF = −80 kN·m, MG = 0

Odpowiedź

Punkt F: MF = −80 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 76,25 kN (T), BC: 82,5 kN (T), CD: 82,5 kN (T), DE: 63,75 kN (T), FG: 76,25 kN (C), GH: 63,75 kN (C), AF: 107,8 kN (C), HE: 90,16 kN (C), BF: 41,25 kN (T), CG: 0, DH: 33,75 kN (T), BG: 8,839 kN (C), DG: 26,52 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 28,75 kN (T), BC: 27,5 kN (T), CD: 27,5 kN (T), DE: 26,25 kN (T), FG: 28,75 kN (C), GH: 26,25 kN (C), AF: 1,768 kN (T), HE: 37,12 kN (C), BF: 1,25 kN (C), CG: 0, DH: 26,25 kN (T), BG: 1,768 kN (T), DG: 1,768 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δP = 78,91 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 14000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie pod siłą

δP = Pa³/(3EI) = 14000·2500³/(3·9,24 × 10¹¹) = 78,91 mm

Odpowiedź

δP = 78,91 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: Ireq = 552,3 × 10⁶ mm⁴

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Warunek ugięcia

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·6000⁴/(384·11000·16,67) = 5,523 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 552,3 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ireq = 552,3 × 10⁶ mm⁴
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 8,422 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·5000 = 10000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/10000² = 8422 N = 8,422 kN

Odpowiedź

Pcr = 8,422 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 11,19 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/10 = 420

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/420² = 11,19 MPa

Odpowiedź

σcr = 11,19 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis