Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 8 mP₁ = 10 kN w 1 mP₂ = 55 kN w 7 m

R_B = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie liniowo zmienne o wartości zero przy ścianie, rosnące do 8 kN/m na swobodnym końcu B, oraz siłę skupioną P w odległości 3 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

L = 4 mw₀ = 8 kN/mP = 10 kN w 3 m

M_A = kN·m

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M₀ = 20 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 1,5 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający M_x tuż na prawo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mM₀ = 20 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 1,5 m

M_x = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 8 mw = 4 kN/m od 0 do 7 m

M_max = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 15 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 20 kNobciążenie poziome = 20 kN ←

F_AB = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 20 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 100 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/250. Wyznacz najmniejszą wysokość h_req przekroju.

w = 2,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 100 mm

h_req = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 70 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 70 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 49,38 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·1 + 55·7

R_B = 395/8 = 49,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 49,38 = 15,63 kN

Odpowiedź

R_B = 49,38 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 72,67 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową R_A i moment utwierdzenia M_A. ΣF_y = 0 daje R_A, a momenty względem ściany dają M_A = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·8·4 = 16 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Moment względem ściany

M_A = W·x̄ + P·a = 16·2,667 + 10·3 = 72,67 kN·m

Odpowiedź

M_A = 72,67 kN·m

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 15 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: R_B·L − M₀ = 0. Równowaga pionowa: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/6 = 3,333 kN (w górę)

R_A = −R_B = −3,333 kN (w dół)

Przekrój tuż na prawo od momentu skupionego

Lewa część zawiera teraz R_A i moment skupiony.

M_x = R_A·a + M₀ = −3,333·1,5 + 20 = 15 kN·m

Odpowiedź

M_x = 15 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 31,01 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·7 = 28 kN, przyłożona w x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·7·3,5

R_B = 98/8 = 12,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 28 − 12,25 = 15,75 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od R_A, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 15,75/4 = 3,938 m

Moment maksymalny

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 15,75·3,938 − 4·3,938²/2 = 31,01 kN·m

Odpowiedź

M_max = 31,01 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −12,37 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·4 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 12 = 3 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12/0,9701 = −12,37 kN

Odpowiedź

F_BC = −12,37 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −30 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·3 − 20·4 → C_y = −4 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − −4 = 24 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −24/0,8 = −30 kN

Odpowiedź

F_AB = −30 kN (ściskanie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 67,34 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 20000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 20000·1000²·2000²/(3·1,32 × 10¹¹·3000) = 67,34 mm

Odpowiedź

δ_P = 67,34 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: h_req = 200,7 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Wymagany moment bezwładności

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4500⁴/(384·11000·18) = 6,742 × 10⁷ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = I_req → h = (12·6,742 × 10⁷/100)^1/3 = 200,7 mm

Odpowiedź

h_req = 200,7 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 96,89 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96,89 kN

Odpowiedź

P_cr = 96,89 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 121,3 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·70000 = 210000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 121,3 mm

Odpowiedź

d = 121,3 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 329,7, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis