Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
w = 12 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?2 m0,5 m1,5 m

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w od ściany do 2,5 m i siłę skupioną P w odległości 2 m od ściany. Wyznacz reakcję pionową RA w ścianie.

L = 4 mP = 55 kN w 2 mw = 12 kN/m od 0 do 2,5 m
RA = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 6 kN/mP = 60 kNABRA​ = ?RB​3,5 m0,5 m1 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.

L = 5 mP = 60 kN w 3,5 mw = 6 kN/m od 0 do 4 m
RA = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 8 kN/mABprzekrój4,5 m0,5 m

Wyznacz siłę tnącą Vx w przekroju x = 4,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mw = 8 kN/m od 0 do 5 mx = 4,5 m
Vx = kN
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 20 kN/mAB5 m3 m2 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz odległość x0 od A do przekroju, w którym moment zginający jest największy.

L = 10 mw = 20 kN/m od 5 do 8 m
x0 = m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABCDEFGH25 kN15 kN25 kN4 × 4 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

F: 25 kN ↓G: 15 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt BG
  13. 13pręt DG
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH35 kN40 kN10 kN30 kN4 × 4 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 35 kN ↓F: 40 kN ↓F: 10 kN →G: 30 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 6 kN/mδL = 2,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δmax w środku rozpiętości.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 8 kN/mP = 4 kNδL = 1,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δmax.

P = 4 kNw = 8 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 1 md = 30 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 2,5 md = 25 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)d = 25 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 85 kN

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową RA i moment utwierdzenia MA. ΣFy = 0 daje RA, a momenty względem ściany dają MA = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 12·2,5 = 30 kN, x̄ = 1,25 m

Równowaga sił pionowych

RA = P + W = 55 + 30 = 85 kN

Odpowiedź

RA = 85 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 32,4 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

w = 6 kN/mP = 60 kNABRA​RB​3,5 m0,5 m1 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·5 = 60·3,5 + 6·4·2
RB = 258/5 = 51,6 kN
ΣFy = 0: RA = 84 − 51,6 = 32,4 kN

Odpowiedź

RA = 32,4 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Vx = −16 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 8·5·2,5
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20przekrój4,5 m0,5 m

Przetnij w x = 4,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = RA − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)
Vx = 20 − 8·4,5 = −16 kN

Odpowiedź

Vx = −16 kN
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: x0 = 6,05 m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 6,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·3·6,5
RB = 390/10 = 39 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 39 = 21 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od RA, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

RA − w·(x0 − 5) = 0
x0 = 5 + 21/20 = 6,05 m

Odpowiedź

x0 = 6,05 m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 43,33 kN (T), BC: 53,33 kN (T), CD: 53,33 kN (T), DE: 43,33 kN (T), FG: 43,33 kN (C), GH: 43,33 kN (C), AF: 54,17 kN (C), HE: 54,17 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 7,5 kN (T), BG: 12,5 kN (C), DG: 12,5 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 79,17 kN (T), BC: 79,17 kN (T), CD: 70,83 kN (T), DE: 70,83 kN (T), FG: 95 kN (C), GH: 95 kN (C), AF: 86,46 kN (C), HE: 88,54 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 19,79 kN (T), HC: 30,21 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 1,734 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 1,734 mm

Odpowiedź

δmax = 1,734 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 1,359 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 4000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm, EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δP = PL³/(48EI) = 4000·1500³/(48·5,95 × 10¹¹) = 0,4727 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·1500⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 0,8863 mm

Dodaj

δmax = 0,4727 + 0,8863 = 1,359 mm

Odpowiedź

δmax = 1,359 mm
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 56,06 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/700² = 56060 N = 56,06 kN

Odpowiedź

Pcr = 56,06 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 25,18 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/6,25 = 280

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Odpowiedź

σcr = 25,18 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis