Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 40 kNP2​ = 40 kNABCRA​ = ?1,5 m2 m1,5 m

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 3,5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową RA, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 3,5 mAC = 5 mP1 = 40 kN w 1,5 mP2 = 40 kN w 5 m
RA = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 2 kN/mP = 20 kNABRA​ = ?RB​1 m2 m1 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.

L = 4 mP = 20 kN w 3 mw = 2 kN/m od 1 do 4 m
RA = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 4 kN/mABprzekrój3 m5 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mw = 4 kN/m od 0 do 8 mx = 3 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 2 kN/mP = 50 kNABprzekrój6,5 m2,5 m1 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 6,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 50 kN w 9 mw = 2 kN/m od 0 do 10 mx = 6,5 m
Mx = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABCDEFGH20 kN25 kN20 kN4 × 4 m4 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 20 kN ↓C: 25 kN ↓D: 20 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH35 kN20 kN10 kN20 kN4 × 4 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 35 kN ↓D: 20 kN ↓F: 10 kN ↓F: 20 kN →
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt BG
  13. 13pręt DG
7.Ugięcie belkiŚredni
P = 21 kNABδ2,5 m0,5 m

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 2,5 m od A. Wyznacz ugięcie δB swobodnego końca B.

P = 21 kNa = 2,5 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
P = 60 kNAB4 m4 m

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz wartość momentu zginającego MA w utwierdzeniu.

L = 8 mP = 60 kN w 4 m
MA = kN·m
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 3 m20 × 50 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 1,5 md = 50 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 5,714 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣMA = 0: RB·3,5 = 40·1,5 + 40·5
RB = 260/3,5 = 74,29 kN

Równowaga sił pionowych

RA = 40 + 40 − 74,29 = 5,714 kN

Odpowiedź

RA = 5,714 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 7,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

w = 2 kN/mP = 20 kNABRA​RB​1 m2 m1 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·3 = 6 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·3 + 2·3·2,5
RB = 75/4 = 18,75 kN
ΣFy = 0: RA = 26 − 18,75 = 7,25 kN

Odpowiedź

RA = 7,25 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 30 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·8·4
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16przekrój3 m5 m

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 16·3 − 4·3·1,5 = 30 kN·m

Odpowiedź

Mx = 30 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 55,25 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·9 + 2·10·5
RB = 550/10 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 55 = 15 kN
w = 2 kN/mP = 50 kNABRA​ = 15RB​ = 55przekrój6,5 m2,5 m1 m

Przetnij w x = 6,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 15·6,5 − 2·6,5·3,25 = 55,25 kN·m

Odpowiedź

Mx = 55,25 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 32,5 kN (T), BC: 32,5 kN (T), CD: 32,5 kN (T), DE: 32,5 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 45,96 kN (C), HE: 45,96 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 17,68 kN (T), HC: 17,68 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 66,67 kN (T), BC: 53,33 kN (T), CD: 53,33 kN (T), DE: 40 kN (T), FG: 66,67 kN (C), GH: 40 kN (C), AF: 58,33 kN (C), HE: 50 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), BG: 16,67 kN (T), DG: 16,67 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δB = 35,64 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 21000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Ugięcie swobodnego końca

Ugięcie pod siłą plus kąt obrotu pod siłą razy pozostała długość.

δP = Pa³/(3EI) = 27,41 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,01645 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 35,64 mm

Odpowiedź

δB = 35,64 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: MA = 90 kN·m

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). W belce statycznie niewyznaczalnej usuń podporę nadliczbową i zażądaj, aby ugięcie w tym miejscu było równe zeru (warunek zgodności).

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory RB podnosi swobodny koniec o RBL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·60/16 = 18,75 kN

Moment w utwierdzeniu

Momenty obciążeń i reakcji podpory względem A.

MA = P·L/2 − RB·L = 240 − 150 = 90 kN·m

Odpowiedź

MA = 90 kN·m
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 2,559 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·3000 = 3000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/3000² = 2559 N = 2,559 kN

Odpowiedź

Pcr = 2,559 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 11,99 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/12,5 = 240

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Odpowiedź

σcr = 11,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis