Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 25 kNP2​ = 15 kNABCRB​ = ?1 m3 m1 m

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 4 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 4 mAC = 5 mP1 = 25 kN w 1 mP2 = 15 kN w 5 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 12 kN/mP = 55 kNABRA​RB​ = ?1,5 m1,5 m1 m2 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 6 mP = 55 kN w 1,5 mw = 12 kN/m od 3 do 4 m
RB = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
M0​ = 15 kN·mAB3,5 m1,5 m

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M0 = 15 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 3,5 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający Mx tuż na prawo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mM0 = 15 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 3,5 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 10 kN/mP = 45 kNAB1 m3 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 4 mP = 45 kN w 1 mw = 10 kN/m od 0 do 4 m
Mmax = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABCDEFGH30 kN20 kN10 kN25 kN40 kN4 × 3 m4 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

C: 30 kN ↓D: 20 kN ↓F: 10 kN ↓G: 25 kN ↓H: 40 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH30 kN25 kN20 kN30 kN10 kN4 × 3 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 30 kN ↓F: 25 kN ↓G: 20 kN ↓H: 30 kN ↓H: 10 kN ←
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt BG
  13. 13pręt DG
7.Ugięcie belkiŚredni
P = 30 kNABδ0,5 m2 m

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 0,5 m od A. Wyznacz ugięcie δB swobodnego końca B.

P = 30 kNa = 0,5 mL = 2,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
P = 10 kNAB4 m4 m

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję RB na podporze przesuwnej.

L = 8 mP = 10 kN w 4 m
RB = kN
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 3 md = 20 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (stal)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 6 md = 40 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 6 mE = 200 GPa (stal)d = 40 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣMA = 0: RB·4 = 25·1 + 15·5
RB = 100/4 = 25 kN

Równowaga sił pionowych

RA = 25 + 15 − 25 = 15 kN

Odpowiedź

RB = 25 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 20,75 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

w = 12 kN/mP = 55 kNABRA​RB​1,5 m1,5 m1 m2 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·1,5 + 12·1·3,5
RB = 124,5/6 = 20,75 kN
ΣFy = 0: RA = 67 − 20,75 = 46,25 kN

Odpowiedź

RB = 20,75 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 4,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: RB·L − M0 = 0. Równowaga pionowa: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 15/5 = 3 kN (w górę)
RA = −RB = −3 kN (w dół)

Przekrój tuż na prawo od momentu skupionego

Lewa część zawiera teraz RA i moment skupiony.

Mx = RA·a + M0 = −3·3,5 + 15 = 4,5 kN·m

Odpowiedź

Mx = 4,5 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 48,75 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·1 + 10·4·2
RB = 125/4 = 31,25 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 31,25 = 53,75 kN

Gdzie V = 0?

V(1⁻) = RA − w·1 = 43,75 kN
V(1⁺) = 43,75 − 45 = −1,25 kN
Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

Mmax = RA·1 − w·1²/2 = 53,75·1 − 10·1²/2 = 48,75 kN·m

Odpowiedź

Mmax = 48,75 kN·m

Występuje w x = 1 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 37,5 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 56,25 kN (T), DE: 56,25 kN (T), FG: 67,5 kN (C), GH: 67,5 kN (C), AF: 62,5 kN (C), HE: 93,75 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 50 kN (T), HC: 18,75 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 51,25 kN (T), BC: 57,5 kN (T), CD: 57,5 kN (T), DE: 43,75 kN (T), FG: 61,25 kN (C), GH: 53,75 kN (C), AF: 86,62 kN (C), HE: 61,87 kN (C), BF: 36,25 kN (T), CG: 0, DH: 13,75 kN (T), BG: 8,839 kN (C), DG: 19,45 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δB = 13,96 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 30000 N, a = 500 mm, L = 2500 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie swobodnego końca

Ugięcie pod siłą plus kąt obrotu pod siłą razy pozostała długość.

δP = Pa³/(3EI) = 1,994 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,005981 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 13,96 mm

Odpowiedź

δB = 13,96 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: RB = 3,125 kN

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). W belce statycznie niewyznaczalnej usuń podporę nadliczbową i zażądaj, aby ugięcie w tym miejscu było równe zeru (warunek zgodności).

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory RB podnosi swobodny koniec o RBL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·10/16 = 3,125 kN

Odpowiedź

RB = 3,125 kN
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 6,89 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1500² = 6890 N = 6,89 kN

Odpowiedź

Pcr = 6,89 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 21,93 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Odpowiedź

σcr = 21,93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis