Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P = 75 kNM = 50 kN·mABRA​ = ?1,5 m0,5 m2 m

Belka swobodnie podparta ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Przenosi siłę skupioną P w odległości 2 m od A i moment skupiony M działający zgodnie z ruchem wskazówek zegara, przyłożony w odległości 1,5 m od A. Wyznacz reakcję pionową RA, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

L = 4 mP = 75 kN w 2 mM = 50 kN·m (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) w 1,5 m
RA = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
P = 75 kN, 60°Q = 20 kNABα = ?0,5 m1 m2,5 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 0,5 m od A działa siła P nachylona pod kątem 60° do poziomu, a w odległości 1,5 m od A pionowa siła Q. Wyznacz kąt α między całkowitą siłą reakcji w podporze nieprzesuwnej A a poziomem.

L = 4 mP = 75 kN w 0,5 m, θ = 60°Q = 20 kN w 1,5 m
α = °
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 3 kN/mABprzekrój3,5 m0,5 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mw = 3 kN/m od 0 do 4 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 3 kN/mP = 40 kNABprzekrój5 m5 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 40 kN w 5 mw = 3 kN/m od 0 do 10 mx = 5 m
Mx = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB30 kN8 m7 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 7 m od Aobciążenie pionowe = 30 kN
FAB = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABBCACACB35 kN10 kN8 m3 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 35 kNobciążenie poziome = 10 kN ←
FAC = kN
7.Ugięcie belkiŚredni
P = 18 kNABδ0,5 m5,5 m

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 0,5 m od A. Wyznacz ugięcie δP pod siłą.

P = 18 kNa = 0,5 mL = 6 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
P = 65 kNAB1,5 m1,5 m

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję RB na podporze przesuwnej.

L = 3 mP = 65 kN w 1,5 m
RB = kN
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 3 md = 50 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (stal)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 5 md = 80 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)d = 80 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣMA = 0: RB·4 − 75·2 − 50 = 0
RB = 200/4 = 50 kN

Równowaga sił pionowych

RA = 75 − 50 = 25 kN

Odpowiedź

RA = 25 kN

Ujemna reakcja działa w dół.

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: α = 61,59 °

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Składowe P

Pv = 75·sin 60° = 64,95 kN
Ph = 75·cos 60° = 37,5 kN

Reakcje

ΣMA = 0: RB·4 = 64,95·0,5 + 20·1,5 → RB = 15,62 kN
Ay = 64,95 + 20 − 15,62 = 69,33 kN
Ax = Ph = 37,5 kN

Kierunek w A

α = atan(Ay/Ax) = atan(69,33/37,5) = 61,59°

Odpowiedź

α = 61,59°
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 2,625 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 3·4·2
RB = 24/4 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 6RB​ = 6przekrój3,5 m0,5 m

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 6·3,5 − 3·3,5·1,75 = 2,625 kN·m

Odpowiedź

Mx = 2,625 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 137,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 40·5 + 3·10·5
RB = 350/10 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 35 = 35 kN
w = 3 kN/mP = 40 kNABRA​ = 35RB​ = 35przekrój5 m5 m

Przetnij w x = 5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 35·5 − 3·5·2,5 = 137,5 kN·m

Odpowiedź

Mx = 137,5 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAB = −13,65 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·7 → Cy = 26,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 26,25 = 3,75 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 2/7,28 = 0,2747
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3,75/0,2747 = −13,65 kN

Odpowiedź

FAB = −13,65 kN (ściskanie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 26,56 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB35 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·8 = 35·3 − 10·2 → Cy = 10,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 10,63 = 24,38 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10,63/0,3714 = −28,61 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−28,61)·0,9285 = 26,56 kN

Odpowiedź

FAC = 26,56 kN (rozciąganie)
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δP = 2,964 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 18000 N, a = 500 mm, L = 6000 mm
EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie pod siłą

δP = Pa³/(3EI) = 18000·500³/(3·2,53 × 10¹¹) = 2,964 mm

Odpowiedź

δP = 2,964 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: RB = 20,31 kN

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). W belce statycznie niewyznaczalnej usuń podporę nadliczbową i zażądaj, aby ugięcie w tym miejscu było równe zeru (warunek zgodności).

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory RB podnosi swobodny koniec o RBL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·65/16 = 20,31 kN

Odpowiedź

RB = 20,31 kN
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 67,29 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·3000 = 3000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67,29 kN

Odpowiedź

Pcr = 67,29 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 7,896 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/20 = 500

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Odpowiedź

σcr = 7,896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis