Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 5 mP₁ = 55 kN w 1 mP₂ = 15 kN w 2,5 m

R_B = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 6 mP = 60 kN w 5 mw = 3 kN/m od 2 do 6 m

R_A = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 0,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mw = 12 kN/m od 0 do 8 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 50 kN w 2 mw = 12 kN/m od 0 do 8 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 15 kN ↓C: 15 kN ↓D: 20 kN ↓F: 35 kN ↓H: 30 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 4 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 30 kNobciążenie poziome = 30 kN →

F_AC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 24 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 18,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1 + 15·2,5

R_B = 92,5/5 = 18,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 18,5 = 51,5 kN

Odpowiedź

R_B = 18,5 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 14 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·5 + 3·4·4

R_B = 348/6 = 58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 58 = 14 kN

Odpowiedź

R_A = 14 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 22,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Przetnij w x = 0,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 48·0,5 − 12·0,5·0,25 = 22,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 22,5 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 151,3 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·2 + 12·8·4

R_B = 484/8 = 60,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 146 − 60,5 = 85,5 kN

Przetnij w x = 2,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 85,5·2,5 − 50·(2,5 − 2) − 12·2,5·1,25 = 151,3 kN·m

Odpowiedź

M_x = 151,3 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 57,5 kN (T), BC: 57,5 kN (T), CD: 57,5 kN (T), DE: 57,5 kN (T), FG: 65 kN (C), GH: 65 kN (C), AF: 81,32 kN (C), HE: 81,32 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 10,61 kN (T), HC: 10,61 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 30 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·2 + 30·4 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 30 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,7071 = −42,43 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−42,43)·0,7071 = 30 kN

Odpowiedź

F_AC = 30 kN (rozciąganie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 37,77 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 24000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(3EI) = 24000·3000³/(3·8,4 × 10¹²) = 25,71 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 12,05 mm

Dodaj

δ = 25,71 + 12,05 = 37,77 mm

Odpowiedź

δ = 37,77 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 319,6 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·5000⁴/(384·11000·13,89) = 3,196 × 10⁸ mm⁴

I_req = 319,6 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 319,6 × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 2,481 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·5000 = 10000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/10000² = 2481 N = 2,481 kN

Odpowiedź

P_cr = 2,481 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 24,48 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/6,25 = 168

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/168² = 24,48 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 24,48 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis