Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 2,5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 2,5 mAC = 4 mP₁ = 10 kN w 1,5 mP₂ = 40 kN w 4 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 7 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 3 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 6 m do swobodnego końca w 10 m. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 7 mAC = 10 mP = 40 kN w 3 mw = 6 kN/m od 6 do 10 m

R_A = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P₁ między podporami i siłę skupioną P₂ w C. Wyznacz moment zginający M_B nad podporą B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 7 mP₁ = 35 kN w 1,5 mP₂ = 50 kN w 7 mpodpory w x = 0 i x = 6 m

M_B = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz odległość x₀ od A do przekroju, w którym moment zginający jest największy.

L = 10 mw = 6 kN/m od 3 do 10 m

x₀ = m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 10 kN ↓F: 10 kN ↓G: 10 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 3 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 20 kNobciążenie poziome = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θ_A belki na podporze A, w radianach.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 100 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/300. Wyznacz najmniejszą wysokość h_req przekroju.

w = 1 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 100 mm

h_req = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (stal)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 95 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 95 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = −20 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·2,5 = 10·1,5 + 40·4

R_B = 175/2,5 = 70 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 10 + 40 − 70 = −20 kN

Odpowiedź

R_A = −20 kN

R_A jest ujemne: podpora w A musi przytrzymywać belkę.

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 19,43 kN

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 6·4 = 24 kN, x̄ = (6 + 10)/2 = 8 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·7 = 40·3 + 24·8

R_B = 312/7 = 44,57 kN

R_A = 64 − 44,57 = 19,43 kN

Odpowiedź

R_A = 19,43 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_B = −50 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1,5 + 50·7

R_B = 402,5/6 = 67,08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 67,08 = 17,92 kN

Przekrój w B, zostaw wspornik

Na wspornik działa tylko P₂, z ramieniem a. Wygina ona belkę nad podporą wypukłością do góry (moment ujemny).

M_B = −P₂·a = −50·1 = −50 kN·m

Odpowiedź

M_B = −50 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: x₀ = 5,45 m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·7 = 42 kN, przyłożona w x̄ = 6,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·7·6,5

R_B = 273/10 = 27,3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 27,3 = 14,7 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od R_A, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 14,7/6 = 5,45 m

Odpowiedź

x₀ = 5,45 m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 15 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 15 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 21,21 kN (C), HE: 21,21 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), BG: 7,071 kN (C), DG: 7,071 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = 17,45 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·1 − 25·3 → C_y = −6,875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − −6,875 = 26,88 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/7,616 = 0,3939, cos γ = 7/7,616 = 0,9191

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−6,875/0,3939 = 17,45 kN

Odpowiedź

F_BC = 17,45 kN (rozciąganie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: θ_A = 0,003782 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Kąt obrotu końca

θ_A = wL³/(24EI) = 2·3000³/(24·5,95 × 10¹¹) = 0,003782 rad

Odpowiedź

θ_A = 0,003782 rad

To 0,2167°.

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: h_req = 122,3 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Wymagany moment bezwładności

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·3500⁴/(384·11000·11,67) = 1,523 × 10⁷ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = I_req → h = (12·1,523 × 10⁷/100)^1/3 = 122,3 mm

Odpowiedź

h_req = 122,3 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 411,2 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·1000 = 2000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2000² = 411234 N = 411,2 kN

Odpowiedź

P_cr = 411,2 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 88,48 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2,5·95000 = 237500 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 88,48 mm

Odpowiedź

d = 88,48 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 226, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis