Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 4 mP₁ = 50 kN w 2 mP₂ = 25 kN w 3 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 4 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 1,5 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 4 m do swobodnego końca w 6 m. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 4 mAC = 6 mP = 15 kN w 1,5 mw = 12 kN/m od 4 do 6 m

R_A = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 3 m od A. Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2 m od utwierdzenia A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 3 mP = 60 kN w 3 mw = 10 kN/m od 0 do 3 mx = 2 m

M_x = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

35 kN @ 0 m40 kN @ 12 m40 kN @ 4 m4 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 10 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 10 kN ↓C: 20 kN ↓D: 15 kN ↓F: 35 kN →

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 5,5 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 9 kNa = 5,5 mL = 8 mE = 200 GPa (stal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 115 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 115 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 31,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·2 + 25·3

R_B = 175/4 = 43,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 43,75 = 31,25 kN

Odpowiedź

R_A = 31,25 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 3,375 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 12·2 = 24 kN, x̄ = (4 + 6)/2 = 5 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1,5 + 24·5

R_B = 142,5/4 = 35,63 kN

R_A = 39 − 35,63 = 3,375 kN

Odpowiedź

R_A = 3,375 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = −65 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −60·1 = −60 kN·m

w: −10·1²/2 = −5 kN·m

M_x = −60 − 5 = −65 kN·m

Odpowiedź

M_x = −65 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 8 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 58,67 kN, R₂ = 80,33 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −70, M_C = −30,67, M_D = −87,33, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = −160 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −2,519 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·1 → C_y = 1,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 1,25 = 8,75 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/8,062 = 0,4961, cos γ = 7/8,062 = 0,8682

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −1,25/0,4961 = −2,519 kN

Odpowiedź

F_BC = −2,519 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 42,19 kN (T), BC: 42,19 kN (T), CD: 26,56 kN (T), DE: 26,56 kN (T), FG: 41,88 kN (C), GH: 41,88 kN (C), AF: 11,98 kN (C), HE: 44,27 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 0,5208 kN (C), HC: 25,52 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 2,954 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 9000 N, a = 5500 mm, b = 2500 mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 9000·5500²·2500²/(3·2,4 × 10¹³·8000) = 2,954 mm

Odpowiedź

δ_P = 2,954 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 1841 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·6000⁴/(384·11000·16,67) = 1,841 × 10⁹ mm⁴

I_req = 1841 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 1841 × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 143,5 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1750² = 143515 N = 143,5 kN

Odpowiedź

P_cr = 143,5 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 69,45 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 69,45 mm

Odpowiedź

d = 69,45 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 161,3, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis