Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 8 mP₁ = 50 kN w 4 mP₂ = 50 kN w 5 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 10 mP = 15 kN w 1 mw = 8 kN/m od 1 do 10 m

R_A = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 6,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mw = 4 kN/m od 0 do 8 mx = 6,5 m

M_x = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 4 mP = 80 kN w 2 mw = 12 kN/m od 0 do 4 m

M_max = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 2 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 50 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 55 kNobciążenie poziome = 10 kN ←

F_AB = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 27 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (stal)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (stal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 40 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 40 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 43,75 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·4 + 50·5

R_B = 450/8 = 56,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 56,25 = 43,75 kN

Odpowiedź

R_A = 43,75 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 45,9 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·9 = 72 kN, przyłożona w x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·1 + 8·9·5,5

R_B = 411/10 = 41,1 kN

ΣF_y = 0: R_A = 87 − 41,1 = 45,9 kN

Odpowiedź

R_A = 45,9 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 19,5 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Przetnij w x = 6,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 16·6,5 − 4·6,5·3,25 = 19,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 19,5 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 104 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·2 + 12·4·2

R_B = 256/4 = 64 kN

ΣF_y = 0: R_A = 128 − 64 = 64 kN

Gdzie V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 40 kN

V(2⁺) = 40 − 80 = −40 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 64·2 − 12·2²/2 = 104 kN·m

Odpowiedź

M_max = 104 kN·m

Występuje w x = 2 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 18,75 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·3 → C_y = 37,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 37,5 = 12,5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −37,5/0,8944 = −41,93 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−41,93)·0,4472 = 18,75 kN

Odpowiedź

F_AC = 18,75 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −52,83 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 − 10·4 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 3,75 = 51,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −51,25/0,9701 = −52,83 kN

Odpowiedź

F_AB = −52,83 kN (ściskanie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 5 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 27000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(3EI) = 27000·2000³/(3·1,68 × 10¹³) = 4,286 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 0,7143 mm

Dodaj

δ = 4,286 + 0,7143 = 5 mm

Odpowiedź

δ = 5 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 60,75 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·6000⁴/(384·200000·16,67) = 6,075 × 10⁷ mm⁴

I_req = 60,75 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 60,75 × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 24,67 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·2500 = 2500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2500² = 24674 N = 24,67 kN

Odpowiedź

P_cr = 24,67 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 34,18 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 34,18 mm

Odpowiedź

d = 34,18 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 122,9, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis