Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 5 mP₁ = 55 kN w 1,5 mP₂ = 15 kN w 2,5 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 8 mP = 15 kN w 5 mw = 5 kN/m od 6 do 7 m

R_B = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

10 kN @ 2 m40 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

45 kN @ 0 m40 kN @ 12 m30 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 3 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 15 kN

F_AB = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 15 kNobciążenie poziome = 15 kN →

F_AB = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (stal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 17 kNw = 5 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 46 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1,5 + 15·2,5

R_B = 120/5 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 24 = 46 kN

Odpowiedź

R_A = 46 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 13,44 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN, przyłożona w x̄ = 6,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·5 + 5·1·6,5

R_B = 107,5/8 = 13,44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 13,44 = 6,563 kN

Odpowiedź

R_B = 13,44 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 8 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 21,67 kN, R₂ = 28,33 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 43,33, M_C = 66,67, M_D = 90, M_E = 113,3 kN·m, M_F = 56,67, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = 113,3 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: B (x = 2 m)

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 53,75 kN, R₂ = 61,25 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −90 kN·m, M_C = −72,5, M_D = −55, M_E = −37,5, M_F = −80, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt B: M_B = −90 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −11,86 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·1 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3,75 = 11,25 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −11,25/0,9487 = −11,86 kN

Odpowiedź

F_AB = −11,86 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −2,577 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·1 + 15·4 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 12,5 = 2,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2,5/0,9701 = −2,577 kN

Odpowiedź

F_AB = −2,577 kN (ściskanie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 66,67 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 5·4000⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 66,67 mm

Odpowiedź

δ = 66,67 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 31,92 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 17000 N, w = 5 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 17000·2500³/(48·2,53 × 10¹¹) = 21,87 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 10,05 mm

Dodaj

δ_max = 21,87 + 10,05 = 31,92 mm

Odpowiedź

δ_max = 31,92 mm

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 77,24 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2800² = 77244 N = 77,24 kN

Odpowiedź

P_cr = 77,24 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 4,318 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis