Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
w = 12 kN/mP = 75 kNABMA​ = ?6 m

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P w odległości 6 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.

L = 6 mP = 75 kN w 6 mw = 12 kN/m od 0 do 6 m
MA = kN·m
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 4 kN/mP = 10 kNABCRA​ = ?3 m3 m4 m

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 6 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 3 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 3 m do swobodnego końca w 10 m. Wyznacz reakcję pionową RA, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 6 mAC = 10 mP = 10 kN w 3 mw = 4 kN/m od 3 do 10 m
RA = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 8 kN/mABprzekrój3,5 m1,5 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mw = 8 kN/m od 0 do 5 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 4 kN/mP = 35 kNABprzekrój2 m1 m3 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 2 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 35 kN w 3 mw = 4 kN/m od 0 do 6 mx = 2 m
Mx = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB20 kN6 m1 m3 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FBC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 3 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 20 kN
FBC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABBCACACB40 kN25 kN5 m4 m4 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 4 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 40 kNobciążenie poziome = 25 kN ←
FAC = kN
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 4 kN/mδL = 1,5 m

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 1,5 kN/mABδ6 m

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 100 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/300. Wyznacz najmniejszą wysokość hreq przekroju.

w = 1,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 100 mm
hreq = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 3 m30 × 50 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (stal)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
P = 40 kNL = 6 md = ?przekrój poprzeczny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 40 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 40 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: MA = 666 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową RA i moment utwierdzenia MA. ΣFy = 0 daje RA, a momenty względem ściany dają MA = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 12·6 = 72 kN, x̄ = 3 m

Moment względem ściany

MA = P·a + W·x̄ = 75·6 + 72·3 = 666 kN·m

Odpowiedź

MA = 666 kN·m
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 2,667 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 4·7 = 28 kN, x̄ = (3 + 10)/2 = 6,5 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·6 = 10·3 + 28·6,5
RB = 212/6 = 35,33 kN
RA = 38 − 35,33 = 2,667 kN

Odpowiedź

RA = 2,667 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 21 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 8·5·2,5
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20przekrój3,5 m1,5 m

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 20·3,5 − 8·3,5·1,75 = 21 kN·m

Odpowiedź

Mx = 21 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 51 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·3 + 4·6·3
RB = 177/6 = 29,5 kN
ΣFy = 0: RA = 59 − 29,5 = 29,5 kN
w = 4 kN/mP = 35 kNABRA​ = 29,5RB​ = 29,5przekrój2 m1 m3 m

Przetnij w x = 2 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 29,5·2 − 4·2·1 = 51 kN·m

Odpowiedź

Mx = 51 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FBC = −6,479 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·6 = 20·1 → Cy = 3,333 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 3,333 = 16,67 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3,333/0,5145 = −6,479 kN

Odpowiedź

FBC = −6,479 kN (ściskanie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 3 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB40 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·5 = 40·4 − 25·4 → Cy = 12 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 12 = 28 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12/0,9701 = −12,37 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−12,37)·0,2425 = 3 kN

Odpowiedź

FAC = 3 kN (rozciąganie)
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 1,918 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 1,918 mm

Odpowiedź

δ = 1,918 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: hreq = 239,9 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δallow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Wymagany moment bezwładności

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1,5·6000⁴/(384·11000·20) = 1,151 × 10⁸ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,151 × 10⁸/100)1/3 = 239,9 mm

Odpowiedź

hreq = 239,9 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 98,7 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1500² = 98696 N = 98,7 kN

Odpowiedź

Pcr = 98,7 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 96 mm

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Wymagana siła krytyczna

Pcr = n·P = 2·40000 = 80000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 96 mm

Odpowiedź

d = 96 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 250, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis