Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 10 mP₁ = 25 kN w 3 mP₂ = 55 kN w 4 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 6 mP = 15 kN w 4 mw = 2 kN/m od 2 do 3 m

R_A = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 7,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 5 kN/m od 0 do 10 mx = 7,5 m

V_x = kN

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2,5 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz odległość x_c od A do miejsca zerowego momentu między podporami (w którym moment zginający zmienia znak).

L = 7,5 mw = 8 kN/m od 0 do 7,5 mpodpory w x = 0 i x = 5 m

x_c = m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 20 kN ↓G: 30 kN ↓H: 30 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

F: 10 kN ↓G: 30 kN ↓H: 40 kN ↓H: 15 kN ←

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję R_B na podporze przesuwnej.

L = 3 mw = 12 kN/m

R_B = kN

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 140 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 140 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 50,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·3 + 55·4

R_B = 295/10 = 29,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 29,5 = 50,5 kN

Odpowiedź

R_A = 50,5 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 6,167 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·4 + 2·1·2,5

R_B = 65/6 = 10,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 17 − 10,83 = 6,167 kN

Odpowiedź

R_A = 6,167 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = −12,5 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Przetnij w x = 7,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 25 − 5·7,5 = −12,5 kN

Odpowiedź

V_x = −12,5 kN

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: x_c = 3,75 m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·7,5 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·7,5·3,75

R_B = 225/5 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 45 = 15 kN

Zerowy moment

Między podporami M(x) = R_A·x − w·x²/2. Poza x = 0 jest równy zeru w x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·15/8 = 3,75 m

Odpowiedź

x_c = 3,75 m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 27,5 kN (T), BC: 27,5 kN (T), CD: 52,5 kN (T), DE: 52,5 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 74,25 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 38,89 kN (T), HC: 3,536 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 21,25 kN (T), BC: 47,5 kN (T), CD: 47,5 kN (T), DE: 43,75 kN (T), FG: 36,25 kN (C), GH: 58,75 kN (C), AF: 51,27 kN (C), HE: 61,87 kN (C), BF: 26,25 kN (T), CG: 0, DH: 3,75 kN (T), BG: 37,12 kN (C), DG: 5,303 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 12,53 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 12,53 mm

Odpowiedź

δ_max = 12,53 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: R_B = 13,5 kN

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·3/8 = 13,5 kN

Odpowiedź

R_B = 13,5 kN

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 5,1 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/4200² = 5100 N = 5,1 kN

Odpowiedź

P_cr = 5,1 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 101 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 101 mm

Odpowiedź

d = 101 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 237,6, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis