Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w od ściany do 3,5 m i siłę skupioną P w odległości 6 m od ściany. Wyznacz reakcję pionową R_A w ścianie.

L = 6 mP = 45 kN w 6 mw = 8 kN/m od 0 do 3,5 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 5 mP = 25 kN w 2,5 mw = 2 kN/m od 0 do 4 m

R_A = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P₁ między podporami i siłę skupioną P₂ w C. Wyznacz moment zginający M_B nad podporą B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP₁ = 50 kN w 1 mP₂ = 15 kN w 6 mpodpory w x = 0 i x = 4 m

M_B = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 55 kN w 2 mw = 12 kN/m od 0 do 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

C: 25 kN ↓D: 40 kN ↓G: 40 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 3 mB jest 6 m od Aobciążenie pionowe = 20 kNobciążenie poziome = 5 kN ←

F_AB = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 2,5 m od A. Wyznacz ugięcie δ_B swobodnego końca B.

P = 6 kNa = 2,5 mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz wartość momentu zginającego M_A w utwierdzeniu.

L = 3 mP = 35 kN w 1,5 m

M_A = kN·m

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (stal)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 73 kN

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową R_A i moment utwierdzenia M_A. ΣF_y = 0 daje R_A, a momenty względem ściany dają M_A = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 8·3,5 = 28 kN, x̄ = 1,75 m

Równowaga sił pionowych

R_A = P + W = 45 + 28 = 73 kN

Odpowiedź

R_A = 73 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 17,3 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·2,5 + 2·4·2

R_B = 78,5/5 = 15,7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 33 − 15,7 = 17,3 kN

Odpowiedź

R_A = 17,3 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_B = −30 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1 + 15·6

R_B = 140/4 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 35 = 30 kN

Przekrój w B, zostaw wspornik

Na wspornik działa tylko P₂, z ramieniem a. Wygina ona belkę nad podporą wypukłością do góry (moment ujemny).

M_B = −P₂·a = −15·2 = −30 kN·m

Odpowiedź

M_B = −30 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 154,5 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·2 + 12·8·4

R_B = 494/8 = 61,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 151 − 61,75 = 89,25 kN

Przetnij w x = 2 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 89,25·2 − 12·2·1 = 154,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 154,5 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 42,5 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 62,5 kN (T), DE: 62,5 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 60,1 kN (C), HE: 88,39 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 60,1 kN (T), HC: 31,82 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −15,37 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·6 − 5·3 → C_y = 13,13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 13,13 = 6,875 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 3/6,708 = 0,4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6,875/0,4472 = −15,37 kN

Odpowiedź

F_AB = −15,37 kN (ściskanie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_B = 44,39 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 6000 N, a = 2500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Ugięcie swobodnego końca

Ugięcie pod siłą plus kąt obrotu pod siłą razy pozostała długość.

δ_P = Pa³/(3EI) = 17,76 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01065 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 44,39 mm

Odpowiedź

δ_B = 44,39 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: M_A = 19,69 kN·m

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Moment w utwierdzeniu

Momenty obciążeń i reakcji podpory względem A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 52,5 − 32,81 = 19,69 kN·m

Odpowiedź

M_A = 19,69 kN·m

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 441 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3000² = 440978 N = 441 kN

Odpowiedź

P_cr = 441 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 4,318 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis