Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 8 mP₁ = 40 kN w 3 mP₂ = 15 kN w 7 m

R_B = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie liniowo zmienne o wartości zero przy ścianie, rosnące do 12 kN/m na swobodnym końcu B, oraz siłę skupioną P w odległości 5 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

L = 10 mw₀ = 12 kN/mP = 65 kN w 5 m

M_A = kN·m

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 3,5 m od A. Wyznacz moment zginający M_A w utwierdzeniu A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 55 kN w 3,5 mw = 6 kN/m od 0 do 4 m

M_A = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 20 kN w 4 mw = 5 kN/m od 0 do 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 2 mB jest 2 m od Aobciążenie pionowe = 25 kN

F_AB = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 3 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 55 kNobciążenie poziome = 5 kN →

F_BC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 135 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 135 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 28,13 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·3 + 15·7

R_B = 225/8 = 28,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 28,13 = 26,88 kN

Odpowiedź

R_B = 28,13 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 725 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową R_A i moment utwierdzenia M_A. ΣF_y = 0 daje R_A, a momenty względem ściany dają M_A = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·12·10 = 60 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Moment względem ściany

M_A = W·x̄ + P·a = 60·6,667 + 65·5 = 725 kN·m

Odpowiedź

M_A = 725 kN·m

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_A = −240,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −55·3,5 = −192,5 kN·m

w: −6·4²/2 = −48 kN·m

M_A = −192,5 − 48 = −240,5 kN·m

Odpowiedź

M_A = −240,5 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 46,67 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·4 + 5·6·3

R_B = 170/6 = 28,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 28,33 = 21,67 kN

Przetnij w x = 4 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 21,67·4 − 5·4·2 = 46,67 kN·m

Odpowiedź

M_x = 46,67 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −23,57 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 → C_y = 8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 8,333 = 16,67 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −16,67/0,7071 = −23,57 kN

Odpowiedź

F_AB = −23,57 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −49,54 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·4 + 5·3 → C_y = 47 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 47 = 8 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −47/0,9487 = −49,54 kN

Odpowiedź

F_BC = −49,54 kN (ściskanie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 27,74 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 27,74 mm

Odpowiedź

δ = 27,74 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 167,4 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·5000⁴/(384·70000·13,89) = 1,674 × 10⁸ mm⁴

I_req = 167,4 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 167,4 × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 5,875 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/2800² = 5875 N = 5,875 kN

Odpowiedź

P_cr = 5,875 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 55,38 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·135000 = 405000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 55,38 mm

Odpowiedź

d = 55,38 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 108,3, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis