Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 60 kNP2​ = 50 kNABCRA​ = ?2,5 m2 m1,5 m

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 4,5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową RA, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 4,5 mAC = 6 mP1 = 60 kN w 2,5 mP2 = 50 kN w 6 m
RA = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
P = 15 kN, 45°Q = 40 kNABα = ?1 m1 m2 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 1 m od A działa siła P nachylona pod kątem 45° do poziomu, a w odległości 2 m od A pionowa siła Q. Wyznacz kąt α między całkowitą siłą reakcji w podporze nieprzesuwnej A a poziomem.

L = 4 mP = 15 kN w 1 m, θ = 45°Q = 40 kN w 2 m
α = °
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 12 kN/mABprzekrój9,5 m0,5 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 9,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 12 kN/m od 0 do 10 mx = 9,5 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 12 kN/mP = 55 kNABprzekrój4,5 m1,5 m2 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 4,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 55 kN w 6 mw = 12 kN/m od 0 do 8 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB55 kN5 m3 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FBC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 2 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 55 kN
FBC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABBCACACB15 kN30 kN8 m7 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 7 m od Aobciążenie pionowe = 15 kNobciążenie poziome = 30 kN →
FAB = kN
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 5 kN/mP = 12 kNABδ1,5 m

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 12 kNw = 5 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (stal)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 2,5 kN/mABδ6 m

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 125 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszą wysokość hreq przekroju.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 125 mm
hreq = mm
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 2,5 m20 × 50 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
P = 45 kNL = 1,5 md = ?przekrój poprzeczny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 45 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 45 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)
d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 10 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣMA = 0: RB·4,5 = 60·2,5 + 50·6
RB = 450/4,5 = 100 kN

Równowaga sił pionowych

RA = 60 + 50 − 100 = 10 kN

Odpowiedź

RA = 10 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: α = 69,22 °

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Składowe P

Pv = 15·sin 45° = 10,61 kN
Ph = 15·cos 45° = 10,61 kN

Reakcje

ΣMA = 0: RB·4 = 10,61·1 + 40·2 → RB = 22,65 kN
Ay = 10,61 + 40 − 22,65 = 27,95 kN
Ax = Ph = 10,61 kN

Kierunek w A

α = atan(Ay/Ax) = atan(27,95/10,61) = 69,22°

Odpowiedź

α = 69,22°
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 28,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, przyłożona w x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 60RB​ = 60przekrój9,5 m0,5 m

Przetnij w x = 9,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 60·9,5 − 12·9,5·4,75 = 28,5 kN·m

Odpowiedź

Mx = 28,5 kN·m
4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 156,4 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, przyłożona w x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 55·6 + 12·8·4
RB = 714/8 = 89,25 kN
ΣFy = 0: RA = 151 − 89,25 = 61,75 kN
w = 12 kN/mP = 55 kNABRA​ = 61,75RB​ = 89,25przekrój4,5 m1,5 m2 m

Przetnij w x = 4,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 61,75·4,5 − 12·4,5·2,25 = 156,4 kN·m

Odpowiedź

Mx = 156,4 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FBC = −46,67 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·5 = 55·3 → Cy = 33 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 33 = 22 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33/0,7071 = −46,67 kN

Odpowiedź

FBC = −46,67 kN (ściskanie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAB = 20,48 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB15 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·7 + 30·2 → Cy = 20,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 20,63 = −5,625 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 2/7,28 = 0,2747
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−5,625/0,2747 = 20,48 kN

Odpowiedź

FAB = 20,48 kN (rozciąganie)
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 9,802 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 12000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δP = PL³/(3EI) = 12000·1500³/(3·1,7 × 10¹²) = 7,941 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 1,861 mm

Dodaj

δ = 7,941 + 1,861 = 9,802 mm

Odpowiedź

δ = 9,802 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: hreq = 280,6 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Wymagany moment bezwładności

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·16,67) = 2,301 × 10⁸ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = Ireq → h = (12·2,301 × 10⁸/125)1/3 = 280,6 mm

Odpowiedź

hreq = 280,6 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 7,52 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1750² = 7520 N = 7,52 kN

Odpowiedź

Pcr = 7,52 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 59,51 mm

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Wymagana siła krytyczna

Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 59,51 mm

Odpowiedź

d = 59,51 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 201,7, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis