Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 3 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową R_B, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 3 mAC = 4 mP₁ = 45 kN w 2,5 mP₂ = 70 kN w 4 m

R_B = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 6 mP = 15 kN w 5 mw = 4 kN/m od 2 do 6 m

R_B = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 10 kN/m od 0 do 10 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz odległość x_c od A do miejsca zerowego momentu między podporami (w którym moment zginający zmienia znak).

L = 5 mw = 12 kN/m od 0 do 5 mpodpory w x = 0 i x = 4 m

x_c = m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 3 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 10 kN

F_AC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 3 mB jest 6 m od Aobciążenie pionowe = 35 kNobciążenie poziome = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θ_A belki na podporze A, w radianach.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (stal)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 7 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (stal)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Ma przenieść 15 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 15 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 130,8 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 45·2,5 + 70·4

R_B = 392,5/3 = 130,8 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 45 + 70 − 130,8 = −15,83 kN

Odpowiedź

R_B = 130,8 kN

R_A jest ujemne: podpora w A musi przytrzymywać belkę.

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 23,17 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·5 + 4·4·4

R_B = 139/6 = 23,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31 − 23,17 = 7,833 kN

Odpowiedź

R_B = 23,17 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 123,8 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Przetnij w x = 4,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 50·4,5 − 10·4,5·2,25 = 123,8 kN·m

Odpowiedź

M_x = 123,8 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: x_c = 3,75 m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·5·2,5

R_B = 150/4 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 37,5 = 22,5 kN

Zerowy moment

Między podporami M(x) = R_A·x − w·x²/2. Poza x = 0 jest równy zeru w x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·22,5/12 = 3,75 m

Odpowiedź

x_c = 3,75 m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 6,25 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·3 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 3,75 = 6,25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,75/0,5145 = −7,289 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−7,289)·0,8575 = 6,25 kN

Odpowiedź

F_AC = 6,25 kN (rozciąganie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −20,28 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·6 − 25·3 → C_y = 16,88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 16,88 = 18,13 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16,88/0,8321 = −20,28 kN

Odpowiedź

F_BC = −20,28 kN (ściskanie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: θ_A = 0,01875 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Kąt obrotu końca

θ_A = wL³/(24EI) = 15·6000³/(24·7,2 × 10¹²) = 0,01875 rad

Odpowiedź

θ_A = 0,01875 rad

To 1,074°.

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 12,81 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 7000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 7000·5000³/(48·4,6 × 10¹²) = 3,963 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 8,846 mm

Dodaj

δ_max = 3,963 + 8,846 = 12,81 mm

Odpowiedź

δ_max = 12,81 mm

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 14,02 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1400² = 14015 N = 14,02 kN

Odpowiedź

P_cr = 14,02 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 39,72 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 39,72 mm

Odpowiedź

d = 39,72 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 151,1, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis