Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 40 kNP2​ = 30 kNABRA​ = ?RB​2 m1 m1 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.

L = 4 mP1 = 40 kN w 2 mP2 = 30 kN w 3 m
RA = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 12 kN/mP = 20 kNQ = 20 kNADCRD​ = ?1 m3 m1 m3 m

Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (4 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (8 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 5 m od A, obciążenie równomiernie rozłożone w na całej części CD i siłę skupioną Q w odległości 1 m od A. Wyznacz reakcję RD na podporze przesuwnej.

AC = 4 mAD = 8 mP = 20 kN w 5 mw = 12 kN/m od 4 do 8 mQ = 20 kN w 1 m
RD = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 10 kN/mP = 30 kNABprzekrój1,5 m1 m1,5 m

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 2,5 m od A. Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 1,5 m od utwierdzenia A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 30 kN w 2,5 mw = 10 kN/m od 0 do 4 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 4 kN/mP = 25 kNAB3,5 m1,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 5 mP = 25 kN w 3,5 mw = 4 kN/m od 0 do 5 m
Mmax = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB25 kN8 m3 m4 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FBC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 4 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 25 kN
FBC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH15 kN30 kN15 kN20 kN4 × 3 m4 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 15 kN ↓D: 30 kN ↓F: 15 kN ↓F: 20 kN →
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
7.Ugięcie belkiŚredni
P = 8 kNABδ5,5 m2,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 5,5 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δP pod siłą.

P = 8 kNa = 5,5 mL = 8 mE = 200 GPa (stal)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 15 kN/mδL = 2 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności Ireq, który spełnia ten warunek.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 4 md = 50 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 1,5 md = 20 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)d = 20 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RA = 27,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

P1​ = 40 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​2 m1 m1 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣMA = 0: RB·4 = 40·2 + 30·3
RB = 170/4 = 42,5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 42,5 = 27,5 kN

Odpowiedź

RA = 27,5 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RD = 29 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.

Część CD

W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.

W = 12·4 = 48 kN w 2 m od C
ΣMC = 0: RD·4 = 20·1 + 48·2
RD = 29 kN
VC = 68 − 29 = 39 kN

Odpowiedź

RD = 29 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = −61,25 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −30·1 = −30 kN·m
w: −10·2,5²/2 = −31,25 kN·m
Mx = −30 − 31,25 = −61,25 kN·m

Odpowiedź

Mx = −61,25 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 36,75 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·3,5 + 4·5·2,5
RB = 137,5/5 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 27,5 = 17,5 kN

Gdzie V = 0?

V(3,5⁻) = RA − w·3,5 = 3,5 kN
V(3,5⁺) = 3,5 − 25 = −21,5 kN
Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

Mmax = RA·3,5 − w·3,5²/2 = 17,5·3,5 − 4·3,5²/2 = 36,75 kN·m

Odpowiedź

Mmax = 36,75 kN·m

Występuje w x = 3,5 m od A.

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FBC = −15,01 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·3 → Cy = 9,375 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 9,375 = 15,63 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −9,375/0,6247 = −15,01 kN

Odpowiedź

FBC = −15,01 kN (ściskanie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 37,5 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 27,5 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 32,5 kN (C), GH: 32,5 kN (C), AF: 29,17 kN (C), HE: 45,83 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 8,333 kN (C), HC: 8,333 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δP = 3,751 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 8000 N, a = 5500 mm, b = 2500 mm, L = 8000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie pod siłą

δP = Pa²b²/(3EIL) = 8000·5500²·2500²/(3·1,68 × 10¹³·8000) = 3,751 mm

Odpowiedź

δP = 3,751 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: Ireq = 8,036 × 10⁶ mm⁴

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Warunek ugięcia

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·2000⁴/(384·70000·5,556) = 8,036 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 8,036 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ireq = 8,036 × 10⁶ mm⁴
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 77,24 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2800² = 77244 N = 77,24 kN

Odpowiedź

Pcr = 77,24 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 87,73 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,5·1500 = 750 mm
KL/r = 750/5 = 150

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Odpowiedź

σcr = 87,73 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis