Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P = 30 kNM = 20 kN·mABRB​ = ?1 m6 m1 m

Belka swobodnie podparta ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Przenosi siłę skupioną P w odległości 1 m od A i moment skupiony M działający zgodnie z ruchem wskazówek zegara, przyłożony w odległości 7 m od A. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

L = 8 mP = 30 kN w 1 mM = 20 kN·m (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) w 7 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w0​ = 8 kN/mP = 70 kNABMA​ = ?4,5 m0,5 m

Wspornik jest utwierdzony w ścianie w A. Przenosi obciążenie liniowo zmienne o wartości zero przy ścianie, rosnące do 8 kN/m na swobodnym końcu B, oraz siłę skupioną P w odległości 4,5 m od ściany. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia MA w ścianie.

L = 5 mw0 = 8 kN/mP = 70 kN w 4,5 m
MA = kN·m
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 2 kN/mP = 65 kNAB2 m0,5 m

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 2 m od A. Wyznacz moment zginający MA w utwierdzeniu A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 2,5 mP = 65 kN w 2 mw = 2 kN/m od 0 do 2,5 m
MA = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 4 kN/mABC5 m2,5 m

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2,5 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz maksymalny dodatni moment zginający Mmax między podporami.

L = 7,5 mw = 4 kN/m od 0 do 7,5 mpodpory w x = 0 i x = 5 m
Mmax = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABCDEFGH40 kN30 kN35 kN10 kN4 × 3 m4 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

C: 40 kN ↓D: 30 kN ↓F: 35 kN ↓G: 10 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABCDEFGH35 kN35 kN35 kN15 kN20 kN4 × 3 m4 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

C: 35 kN ↓D: 35 kN ↓F: 35 kN →G: 15 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1pręt AB
  2. 2pręt BC
  3. 3pręt CD
  4. 4pręt DE
  5. 5pręt FG
  6. 6pręt GH
  7. 7pręt AF
  8. 8pręt HE
  9. 9pręt BF
  10. 10pręt CG
  11. 11pręt DH
  12. 12pręt FC
  13. 13pręt HC
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 12 kN/mδL = 4 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δmax w środku rozpiętości.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (stal)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
w = 2 kN/mδL = 5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności Ireq, który spełnia ten warunek.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 1 m25 × 100 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (stal)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 1,5 md = 25 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)d = 25 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 6,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣMA = 0: RB·8 − 30·1 − 20 = 0
RB = 50/8 = 6,25 kN

Równowaga sił pionowych

RA = 30 − 6,25 = 23,75 kN

Odpowiedź

RB = 6,25 kN

Ujemna reakcja działa w dół.

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: MA = 381,7 kN·m

Równowaga wspornika: utwierdzenie może pchać w górę i również przeciwdziałać obrotowi, więc daje reakcję pionową RA i moment utwierdzenia MA. ΣFy = 0 daje RA, a momenty względem ściany dają MA = Σ(obciążenie × odległość od ściany). Obciążenie ciągłe działa jak jego wypadkowa w środku ciężkości wykresu obciążenia.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·8·5 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Moment względem ściany

MA = W·x̄ + P·a = 20·3,333 + 70·4,5 = 381,7 kN·m

Odpowiedź

MA = 381,7 kN·m
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: MA = −136,3 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −65·2 = −130 kN·m
w: −2·2,5²/2 = −6,25 kN·m
MA = −130 − 6,25 = −136,3 kN·m

Odpowiedź

MA = −136,3 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 7,031 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·7,5 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 3,75 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·7,5·3,75
RB = 112,5/5 = 22,5 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 22,5 = 7,5 kN

Zerowa siła tnąca

RA − w·x0 = 0 → x0 = 7,5/4 = 1,875 m

Maksymalny moment dodatni

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 7,5²/(2·4) = 7,031 kN·m

Odpowiedź

Mmax = 7,031 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 44,06 kN (T), BC: 44,06 kN (T), CD: 42,19 kN (T), DE: 42,19 kN (T), FG: 61,88 kN (C), GH: 61,88 kN (C), AF: 73,44 kN (C), HE: 70,31 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 29,69 kN (T), HC: 32,81 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 55,31 kN (T), BC: 55,31 kN (T), CD: 58,44 kN (T), DE: 58,44 kN (T), FG: 75,63 kN (C), GH: 75,63 kN (C), AF: 33,85 kN (C), HE: 97,4 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 33,85 kN (T), HC: 28,65 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 3,509 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 3,509 mm

Odpowiedź

δmax = 3,509 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: Ireq = 106,5 × 10⁶ mm⁴

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Warunek ugięcia

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·13,89) = 1,065 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 106,5 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ireq = 106,5 × 10⁶ mm⁴
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 524,5 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/700² = 524533 N = 524,5 kN

Odpowiedź

Pcr = 524,5 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 34,27 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/6,25 = 240

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Odpowiedź

σcr = 34,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis