Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d

Metoda

  1. Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
  2. Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
  3. Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
  4. Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni
P1​ = 70 kNP2​ = 70 kNABCRB​ = ?2 m4 m2 m

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 6 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 6 mAC = 8 mP1 = 70 kN w 2 mP2 = 70 kN w 8 m
RB = kN
2.Reakcje podpór belekTrudny
w = 12 kN/mP = 60 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m3 m

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.

L = 6 mP = 60 kN w 2 mw = 12 kN/m od 3 do 6 m
RB = kN
3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
w = 4 kN/mP = 75 kNAB0,5 m2,5 m

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 0,5 m od A. Wyznacz moment zginający MA w utwierdzeniu A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 3 mP = 75 kN w 0,5 mw = 4 kN/m od 0 do 3 m
MA = kN·m
4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 5 kN/mP = 60 kNABprzekrój3,5 m1,5 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 60 kN w 3,5 mw = 5 kN/m od 0 do 5 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
ABBCACACB10 kN8 m5 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 5 m od Aobciążenie pionowe = 10 kN
FAC = kN
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
ABBCACACB35 kN25 kN6 m4 m4 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 4 mB jest 4 m od Aobciążenie pionowe = 35 kNobciążenie poziome = 25 kN ←
FAC = kN
7.Ugięcie belkiŚredni
w = 4 kN/mδL = 8 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δmax w środku rozpiętości.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Ugięcie belkiTrudny
P = 75 kNAB2,5 m2,5 m

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję RB na podporze przesuwnej.

L = 5 mP = 75 kN w 2,5 m
RB = kN
9.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 2 m20 × 50 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 2,5 md = 60 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 116,7 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣMA = 0: RB·6 = 70·2 + 70·8
RB = 700/6 = 116,7 kN

Równowaga sił pionowych

RA = 70 + 70 − 116,7 = 23,33 kN

Odpowiedź

RB = 116,7 kN
2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: RB = 47 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

w = 12 kN/mP = 60 kNABRA​RB​2 m1 m3 m

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, przyłożona w x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 12·3·4,5
RB = 282/6 = 47 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 47 = 49 kN

Odpowiedź

RB = 47 kN
3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: MA = −55,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −75·0,5 = −37,5 kN·m
w: −4·3²/2 = −18 kN·m
MA = −37,5 − 18 = −55,5 kN·m

Odpowiedź

MA = −55,5 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 76,13 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 60·3,5 + 5·5·2,5
RB = 272,5/5 = 54,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 54,5 = 30,5 kN
w = 5 kN/mP = 60 kNABRA​ = 30,5RB​ = 54,5przekrój3,5 m1,5 m

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 30,5·3,5 − 5·3,5·1,75 = 76,13 kN·m

Odpowiedź

Mx = 76,13 kN·m
5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 9,375 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·5 → Cy = 6,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 6,25 = 3,75 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6,25/0,5547 = −11,27 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−11,27)·0,8321 = 9,375 kN

Odpowiedź

FAC = 9,375 kN (rozciąganie)
6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: FAC = 3,333 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB35 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·4 − 25·4 → Cy = 6,667 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 6,667 = 28,33 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6,667/0,8944 = −7,454 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−7,454)·0,4472 = 3,333 kN

Odpowiedź

FAC = 3,333 kN (rozciąganie)
7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 25,4 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 8000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·8000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 25,4 mm

Odpowiedź

δmax = 25,4 mm
8.Ugięcie belki

Odpowiedź: RB = 23,44 kN

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). W belce statycznie niewyznaczalnej usuń podporę nadliczbową i zażądaj, aby ugięcie w tym miejscu było równe zeru (warunek zgodności).

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory RB podnosi swobodny koniec o RBL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·75/16 = 23,44 kN

Odpowiedź

RB = 23,44 kN
9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 11,75 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1400² = 11750 N = 11,75 kN

Odpowiedź

Pcr = 11,75 kN
10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 50,76 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/15 = 116,7

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/116,7² = 50,76 MPa

Odpowiedź

σcr = 50,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis