Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 6 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 6 mAC = 8 mP₁ = 40 kN w 2 mP₂ = 10 kN w 8 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 2 m od A działa siła P nachylona pod kątem 50° do poziomu, a w odległości 7 m od A pionowa siła Q. Wyznacz wartość całkowitej siły reakcji R_A w podporze nieprzesuwnej A.

L = 8 mP = 45 kN w 2 m, θ = 50°Q = 50 kN w 7 m

R_A = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

30 kN @ 3 m4 kN/m, 2–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 50 kN w 3 mw = 10 kN/m od 0 do 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 30 kN ↓D: 15 kN ↓F: 15 kN ↓H: 40 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 2 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 25 kNobciążenie poziome = 15 kN ←

F_BC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 6 kNa = 1 mL = 3 mE = 200 GPa (stal)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (stal)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 23,33 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Momenty względem A

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·2 + 10·8

R_B = 160/6 = 26,67 kN

Równowaga sił pionowych

R_A = 40 + 10 − 26,67 = 23,33 kN

Odpowiedź

R_A = 23,33 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 43,21 kN

Składowe P

P_v = 45·sin 50° = 34,47 kN

P_h = 45·cos 50° = 28,93 kN

Reakcje

ΣM_A = 0: R_B·8 = 34,47·2 + 50·7 → R_B = 52,37 kN

A_y = 34,47 + 50 − 52,37 = 32,1 kN

A_x = P_h = 28,93 kN

Wypadkowa w A

R_A = √(28,93² + 32,1²) = 43,21 kN

Odpowiedź

R_A = 43,21 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 3 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 19 kN, R₂ = 19 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 19, M_C = 38, M_D = 55 kN·m, M_E = 38, M_F = 19, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 55 kN·m

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 210 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·3 + 10·10·5

R_B = 650/10 = 65 kN

ΣF_y = 0: R_A = 150 − 65 = 85 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 85·3 − 10·3·1,5 = 210 kN·m

Odpowiedź

M_x = 210 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł G

FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 47,5 kN (T), BC: 47,5 kN (T), CD: 52,5 kN (T), DE: 52,5 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 67,18 kN (C), HE: 74,25 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 3,536 kN (T), HC: 3,536 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −12,58 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·3 − 15·2 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 11,25 = 13,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,25/0,8944 = −12,58 kN

Odpowiedź

F_BC = −12,58 kN (ściskanie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 1,569 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 6000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·1000²·2000²/(3·1,7 × 10¹²·3000) = 1,569 mm

Odpowiedź

δ_P = 1,569 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 16,74 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·70000·13,89) = 1,674 × 10⁷ mm⁴

I_req = 16,74 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 16,74 × 10⁶ mm⁴

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 9,462 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·1000 = 2000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9,462 kN

Odpowiedź

P_cr = 9,462 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 27,76 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 27,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis