Mechanika budowli: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, rosnące od zera w A do 15 kN/m w B. W odległości 1 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 4 mw₀ = 15 kN/mP = 75 kN w 1 m

R_A = kN

2.Reakcje podpór belekTrudny

Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 3,5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 2,5 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 3 m do swobodnego końca w 5 m. Wyznacz reakcję pionową R_A, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.

AB = 3,5 mAC = 5 mP = 45 kN w 2,5 mw = 8 kN/m od 3 do 5 m

R_A = kN

3.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 3 m od A. Wyznacz moment zginający M_A w utwierdzeniu A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 3 mP = 65 kN w 3 mw = 8 kN/m od 0 do 3 m

M_A = kN·m

4.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 6 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 10 kN w 6 mw = 12 kN/m od 0 do 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

F: 25 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 4 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 60 kNobciążenie poziome = 10 kN →

F_BC = kN

7.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (stal)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 12 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (stal)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 66,25 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·15·4 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2,667 + 75·1

R_B = 38,75 kN

R_A = 105 − 38,75 = 66,25 kN

Odpowiedź

R_A = 66,25 kN

2.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 10,57 kN

Wypadkowa obciążenia ciągłego

W = 8·2 = 16 kN, x̄ = (3 + 5)/2 = 4 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·3,5 = 45·2,5 + 16·4

R_B = 176,5/3,5 = 50,43 kN

R_A = 61 − 50,43 = 10,57 kN

Odpowiedź

R_A = 10,57 kN

3.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_A = −231 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −65·3 = −195 kN·m

w: −8·3²/2 = −36 kN·m

M_A = −195 − 36 = −231 kN·m

Odpowiedź

M_A = −231 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

4.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 168 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·6 + 12·10·5

R_B = 660/10 = 66 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 66 = 64 kN

Przetnij w x = 6 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 64·6 − 12·6·3 = 168 kN·m

Odpowiedź

M_x = 168 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 18,75 kN (T), BC: 12,5 kN (T), CD: 12,5 kN (T), DE: 6,25 kN (T), FG: 18,75 kN (C), GH: 6,25 kN (C), AF: 26,52 kN (C), HE: 8,839 kN (C), BF: 6,25 kN (C), CG: 0, DH: 6,25 kN (T), BG: 8,839 kN (T), DG: 8,839 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −56,69 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 + 10·4 → C_y = 55 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 55 = 5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −55/0,9701 = −56,69 kN

Odpowiedź

F_BC = −56,69 kN (ściskanie)

7.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 6,328 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·6000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 6,328 mm

Odpowiedź

δ_max = 6,328 mm

8.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 20,86 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 12000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm, EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·3000³/(48·6,27 × 10¹¹) = 10,77 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 10,09 mm

Dodaj

δ_max = 10,77 + 10,09 = 20,86 mm

Odpowiedź

δ_max = 20,86 mm

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 161,1 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/700² = 161136 N = 161,1 kN

Odpowiedź

P_cr = 161,1 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 7,896 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/5 = 500

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 7,896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis