Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Ciężarek o masie 1,6 kg na sprężynie o k = 270 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 19 cm. Wyznacz jego prędkość v, gdy znajduje się 15 cm od położenia równowagi.
m = 1,6 kgk = 270 N/mA = 19 cmx = 15 cm
v = m/s
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Pocisk o masie 12 g lecący z prędkością 450 m/s trafia w klocek o masie 1 kg spoczywający na powierzchni bez tarcia i pozostaje w nim. Klocek jest przymocowany do poziomej sprężyny o k = 1900 N/m. Wyznacz amplitudę A powstałych drgań w cm.
m = 12 gv = 450 m/sM = 1 kgk = 1900 N/m
A = cm
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Układ: Struna zamocowana na obu końcach, długość 0,8 m, prędkość fal 80 m/s. Znajdź częstotliwość f5 dla: harmoniczna numer 5.
v = 80 m/sn = 5L = 0,8 m
f5 = Hz
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Czujnik parkowania w spoczynku wysyła ultradźwięki 30 kHz w stronę samochodu oddalającego się z prędkością 10 m/s. Znajdź częstotliwość f″ echa odebranego z powrotem przez czujnik (prędkość dźwięku 343 m/s).
f = 30 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: v = 1,515 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(270/1,6) = 12,99 rad/s
Prędkość w x
v = ω·√(A² − x²) = 12,99·√(0,19² − 0,15²) = 1,515 m/s
Odpowiedź
v = 1,515 m/s
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: A = 12,31 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Prędkość po uderzeniu
V = m·v/(m + M) = 0,012·450/1,012 = 5,336 m/s
Pulsacja
ω = √(k/(m + M)) = √(1900/1,012) = 43,33 rad/s
Amplituda
A = V/ω = 5,336/43,33 = 0,1231 m = 12,31 cm
Odpowiedź
A = 12,31 cm
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: f5 = 250 Hz
Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.
Długość fali tego rodzaju drgań
λ = 2L/n = 2·0,8/5 = 0,32 m
Częstotliwość
f = v/λ = 80/0,32 = 250 Hz
Odpowiedź
f5 = 250 Hz
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: f″ = 28300 Hz
Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.
Częstotliwość przy samochodzie
f′ = 30000·(343 − 10)/343 = 29125 Hz
Częstotliwość echa
f″ = f′·343/(343 + 10) = 28300 Hz
Odpowiedź
f″ = 28300 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics