Fale i optyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Sprężyny i wahadła

Masa na sprężynie: T = 2π·√(m/k)
Wahadło: T = 2π·√(L/g)
Pulsacja: ω = √(k/m) = 2π/T
Maksymalna prędkość i przyspieszenie: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energia: E = ½·k·A²

Fale, dźwięk i optyka

Prędkość fali: v = fλ, T = 1/f
Struna: v = √(T/μ), μ = m/L
Poziom natężenia dźwięku: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Źródło punktowe: I = P/(4πr²)
Fale stojące: struna lub rura otwarta f_n = n·v/(2L); rura zamknięta f_n = n·v/(4L), n nieparzyste
Efekt Dopplera: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Współczynnik załamania: n = c/v, λ = λ₀/n
Prawo Snelliusa: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Kąt graniczny: sin θ_c = n₂/n₁
Światłowód: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Soczewki i zwierciadła: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Podwójna szczelina: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Siatka: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Pojedyncza szczelina: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metoda

Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.

2Zadania do ćwiczenia

1.Sprężyny i wahadłaŚredni

Ciężarek o masie 3,9 kg na sprężynie o k = 310 N/m zostaje odciągnięty o 4 cm w kierunku dodatnim i puszczony ze spoczynku w t = 0. Wyznacz jego wychylenie x z położenia równowagi w chwili t = 1,2 s (ze znakiem).

m = 3,9 kgk = 310 N/mA = 4 cmt = 1,2 s

x = cm

2.Sprężyny i wahadłaTrudny

Masę 1 kg na sprężynie o k = 370 N/m odciągnięto o 3 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalne przyspieszenie a_max.

m = 1 kgk = 370 N/mA = 3 cm

a_max = m/s²

3.Fale, dźwięk i optykaŚredni

Źródło o częstotliwości 300 Hz poruszające się z prędkością 34 m/s i obserwator poruszający się z prędkością 20 m/s zbliżają się do siebie. Prędkość dźwięku wynosi 343 m/s. Znajdź częstotliwość f′, którą słyszy obserwator.

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

4.Fale, dźwięk i optykaTrudny

Dwie szczeliny odległe o 0,4 mm oświetlono światłem monochromatycznym. Na ekranie w odległości 3 m jasny prążek numer 2 leży 6,75 mm od prążka środkowego. Znajdź długość fali λ.

d = 0,4 mmL = 3 my₂ = 6,75 mmm = 2

λ = nm

3Roztwory

1.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: x = −1,17 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Pulsacja

ω = √(310/3,9) = 8,916 rad/s

ω·t = 8,916·1,2 = 10,7 rad

Przemieszczenie

x = A·cos(ω·t) = 4·cos(10,7) = −1,17 cm

Odpowiedź

x = −1,17 cm

2.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: a_max = 11,1 m/s²

Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².

Pulsacja

ω = √(370/1) = 19,24 rad/s

Maksymalne przyspieszenie

a_max = A·ω² = 0,03·19,24² = 11,1 m/s²

Odpowiedź

a_max = 11,1 m/s²

3.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: f′ = 352,4 Hz

Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, f_n = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.

Wzór na efekt Dopplera

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 300·(343 + 20)/(343 − 34)

f′ = 352,4 Hz

Odpowiedź

f′ = 352,4 Hz

4.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: λ = 450 nm

Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Długość fali

λ = y·d/(mL) = 0,00675·0,0004/(2·3) = 4,5 × 10⁻⁷ m = 450 nm

Odpowiedź

λ = 450 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics