Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Ciężarek o masie 0,3 kg na sprężynie o k = 20 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 5 cm. Wyznacz jego prędkość v, gdy znajduje się 3 cm od położenia równowagi.
m = 0,3 kgk = 20 N/mA = 5 cmx = 3 cm
v = m/s
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Pocisk o masie 10 g lecący z prędkością 250 m/s trafia w klocek o masie 0,5 kg spoczywający na powierzchni bez tarcia i pozostaje w nim. Klocek jest przymocowany do poziomej sprężyny o k = 1300 N/m. Wyznacz amplitudę A powstałych drgań w cm.
m = 10 gv = 250 m/sM = 0,5 kgk = 1300 N/m
A = cm
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Układ: Rura zamknięta na jednym końcu, długość 1 m, prędkość dźwięku 343 m/s. Znajdź częstotliwość f7 dla: harmoniczna numer 7.
v = 343 m/sn = 7L = 1 m
f7 = Hz
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Dwie cienkie soczewki mają wspólną oś i stoją w odległości 25 cm: soczewka 1 o f₁ = 8 cm i soczewka 2 o f₂ = 5 cm. Przedmiot stoi 25 cm przed soczewką 1. Znajdź położenie di2 obrazu końcowego mierzone od soczewki 2 (dodatnie za soczewką 2, konwencja: obraz rzeczywisty jest dodatni).
f1 = 8 cmf2 = 5 cms = 25 cmdo = 25 cm
di2 = cm
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: v = 0,3266 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(20/0,3) = 8,165 rad/s
Prędkość w x
v = ω·√(A² − x²) = 8,165·√(0,05² − 0,03²) = 0,3266 m/s
Odpowiedź
v = 0,3266 m/s
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: A = 9,709 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Prędkość po uderzeniu
V = m·v/(m + M) = 0,01·250/0,51 = 4,902 m/s
Pulsacja
ω = √(k/(m + M)) = √(1300/0,51) = 50,49 rad/s
Amplituda
A = V/ω = 4,902/50,49 = 0,09709 m = 9,709 cm
Odpowiedź
A = 9,709 cm
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: f7 = 600,3 Hz
Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.
Długość fali tego rodzaju drgań
λ = 4L/n = 4·1/7 = 0,5714 m
Częstotliwość
f = v/λ = 343/0,5714 = 600,3 Hz
Odpowiedź
f7 = 600,3 Hz
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: di2 = 8,036 cm
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Obraz z soczewki 1
1/di1 = 1/8 − 1/25 → di1 = 11,76 cm
Przedmiot dla soczewki 2
do2 = 25 − 11,76 = 13,24 cm
Obraz końcowy
1/di2 = 1/5 − 1/13,24 → di2 = 8,036 cm
Odpowiedź
di2 = 8,036 cm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics