Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Ciężarek o masie 1,7 kg na sprężynie o k = 50 N/m zostaje odciągnięty o 15 cm w kierunku dodatnim i puszczony ze spoczynku w t = 0. Wyznacz jego wychylenie x z położenia równowagi w chwili t = 0,5 s (ze znakiem).
m = 1,7 kgk = 50 N/mA = 15 cmt = 0,5 s
x = cm
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Ciężarek o masie 1,2 kg zostaje przymocowany do dolnego końca nierozciągniętej pionowej sprężyny o k = 320 N/m i puszczony ze spoczynku. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą prędkość vmax ciężarka.
m = 1,2 kgk = 320 N/mg = 9,81 m/s²
vmax = m/s
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Światło rozchodzi się w ośrodku: szkło flintowe (n = 1,62) ku płaskiej granicy z ośrodkiem: woda (n = 1,33). Znajdź kąt graniczny θc, powyżej którego następuje całkowite odbicie.
n1 = 1,62n2 = 1,33
θc = °
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Czujnik w spoczynku wysyła ultradźwięki 35 kHz w stronę samochodu oddalającego się z prędkością 10 m/s i miesza echo z wysłanym sygnałem. Znajdź częstotliwość dudnień fb (prędkość dźwięku 343 m/s).
f = 35 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s
fb = Hz
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: x = −13,63 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(50/1,7) = 5,423 rad/s
ω·t = 5,423·0,5 = 2,712 rad
Przemieszczenie
x = A·cos(ω·t) = 15·cos(2,712) = −13,63 cm
Odpowiedź
x = −13,63 cm
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: vmax = 0,6007 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Położenie równowagi i amplituda
x₀ = m·g/k = 1,2·9,81/320 = 0,03679 m = A
Największa prędkość
Prędkość jest największa w położeniu równowagi.
ω = √(320/1,2) = 16,33 rad/s
vmax = A·ω = 0,03679·16,33 = 0,6007 m/s
Odpowiedź
vmax = 0,6007 m/s
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: θc = 55,18 °
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Załamanie pod 90°
sin θc = n₂/n₁ = 1,33/1,62 = 0,821
Kąt graniczny
θc = arcsin(0,821) = 55,18°
Odpowiedź
θc = 55,18°
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: fb = 1983 Hz
Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.
Częstotliwość przy samochodzie
f′ = 35000·(343 − 10)/343 = 33980 Hz
Częstotliwość echa
f″ = f′·343/(343 + 10) = 33017 Hz
Częstotliwość dudnień
fb = |f″ − f| = 1983 Hz
Odpowiedź
fb = 1983 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics