Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Ciężarek o masie 3,2 kg na sprężynie o k = 140 N/m zostaje odciągnięty o 10 cm w kierunku dodatnim i puszczony ze spoczynku w t = 0. Wyznacz jego prędkość v w chwili t = 0,95 s (ze znakiem).
m = 3,2 kgk = 140 N/mA = 10 cmt = 0,95 s
v = m/s
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Masę 3,5 kg na sprężynie o k = 360 N/m odciągnięto o 11 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalną prędkość vmax.
m = 3,5 kgk = 360 N/mA = 11 cm
vmax = m/s
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Przedmiot stoi 10 cm przed cienką soczewką (typ: skupiająca) o ogniskowej 20 cm. Znajdź odległość obrazu di. Użyj konwencji znaków 1/f = 1/do + 1/di (f < 0 dla soczewki rozpraszającej, di < 0 dla obrazu pozornego).
do = 10 cmf = 20 cm
di = cm
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Dwie szczeliny odległe o 0,4 mm oświetlono światłem monochromatycznym. Na ekranie w odległości 3 m jasny prążek numer 3 leży 10,13 mm od prążka środkowego. Znajdź długość fali λ.
d = 0,4 mmL = 3 my3 = 10,13 mmm = 3
λ = nm
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: v = −0,0003136 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(140/3,2) = 6,614 rad/s
ω·t = 6,614·0,95 = 6,284 rad
Prędkość
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,1·6,614·sin(6,284) = −0,0003136 m/s
Odpowiedź
v = −0,0003136 m/s
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: vmax = 1,116 m/s
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(360/3,5) = 10,14 rad/s
Maksymalna prędkość
vmax = A·ω = 0,11·10,14 = 1,116 m/s
Odpowiedź
vmax = 1,116 m/s
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: di = −20 cm
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Równanie cienkiej soczewki
1/di = 1/f − 1/do = 1/20 − 1/10
di = −20 cm
Diagram promieni
pozorny, po tej samej stronie co przedmiot
Odpowiedź
di = −20 cm
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: λ = 450,2 nm
Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Długość fali
λ = y·d/(mL) = 0,01013·0,0004/(3·3) = 4,502 × 10⁻⁷ m = 450,2 nm
Odpowiedź
λ = 450,2 nm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics