Fale i optyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Sprężyny i wahadła

Masa na sprężynie: T = 2π·√(m/k)
Wahadło: T = 2π·√(L/g)
Pulsacja: ω = √(k/m) = 2π/T
Maksymalna prędkość i przyspieszenie: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energia: E = ½·k·A²

Fale, dźwięk i optyka

Prędkość fali: v = fλ, T = 1/f
Struna: v = √(T/μ), μ = m/L
Poziom natężenia dźwięku: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Źródło punktowe: I = P/(4πr²)
Fale stojące: struna lub rura otwarta f_n = n·v/(2L); rura zamknięta f_n = n·v/(4L), n nieparzyste
Efekt Dopplera: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Współczynnik załamania: n = c/v, λ = λ₀/n
Prawo Snelliusa: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Kąt graniczny: sin θ_c = n₂/n₁
Światłowód: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Soczewki i zwierciadła: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Podwójna szczelina: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Siatka: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Pojedyncza szczelina: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metoda

Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.

2Zadania do ćwiczenia

1.Sprężyny i wahadłaŚredni

Ciężarek o masie 3,6 kg na sprężynie o k = 160 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 15 cm. Wyznacz jego prędkość v, gdy znajduje się 3 cm od położenia równowagi.

m = 3,6 kgk = 160 N/mA = 15 cmx = 3 cm

v = m/s

2.Sprężyny i wahadłaTrudny

Masę 1 kg na sprężynie o k = 440 N/m odciągnięto o 12 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz całkowitą energię E drgań.

m = 1 kgk = 440 N/mA = 12 cm

E = J

3.Fale, dźwięk i optykaŚredni

Obserwator porusza się z prędkością 15 m/s od nieruchomego źródła o częstotliwości 600 Hz. Prędkość dźwięku wynosi 343 m/s. Znajdź częstotliwość f′, którą słyszy obserwator.

f = 600 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

4.Fale, dźwięk i optykaTrudny

Światło o długości fali 589 nm pada pod kątem prostym na siatkę o 400 liniach na milimetr. Znajdź kąt θ₁ maksimum rzędu 1.

N = 400 mm⁻¹λ = 589 nmm = 1

θ₁ = °

3Roztwory

1.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: v = 0,9798 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Pulsacja

ω = √(160/3,6) = 6,667 rad/s

Prędkość w x

v = ω·√(A² − x²) = 6,667·√(0,15² − 0,03²) = 0,9798 m/s

Odpowiedź

v = 0,9798 m/s

2.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: E = 3,168 J

Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².

Pulsacja

ω = √(440/1) = 20,98 rad/s

Energia

E = ½·k·A² = ½·440·0,12² = 3,168 J

Odpowiedź

E = 3,168 J

3.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: f′ = 573,8 Hz

Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, f_n = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.

Wzór na efekt Dopplera

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 15)/(343 + 0)

f′ = 573,8 Hz

Odpowiedź

f′ = 573,8 Hz

4.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: θ₁ = 13,63 °

Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Odstęp linii

d = 1/400 mm = 2,5 × 10⁻⁶ m

Równanie siatki

sin θ = mλ/d = 1·589 × 10⁻⁹/(2,5 × 10⁻⁶) = 0,2356

θ = 13,63°

Odpowiedź

θ₁ = 13,63°

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics