Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Jaką długość musi mieć wahadło matematyczne, aby jego okres wynosił 2,1 s? Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz L.
T = 2,1 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Masę 1,5 kg na sprężynie o k = 210 N/m odciągnięto o 17 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz całkowitą energię E drgań.
m = 1,5 kgk = 210 N/mA = 17 cm
E = J
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Układ: Rura otwarta na obu końcach, długość 0,5 m, prędkość dźwięku 343 m/s. Znajdź częstotliwość f4 dla: harmoniczna numer 4.
v = 343 m/sn = 4L = 0,5 m
f4 = Hz
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Czujnik w spoczynku wysyła ultradźwięki 35 kHz w stronę samochodu oddalającego się z prędkością 5 m/s i miesza echo z wysłanym sygnałem. Znajdź częstotliwość dudnień fb (prędkość dźwięku 343 m/s).
f = 35 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s
fb = Hz
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: L = 1,096 m
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Wyznacz długość
L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,1/2π)² = 1,096 m
Odpowiedź
L = 1,096 m
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: E = 3,035 J
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(210/1,5) = 11,83 rad/s
Energia
E = ½·k·A² = ½·210·0,17² = 3,035 J
Odpowiedź
E = 3,035 J
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: f4 = 1372 Hz
Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.
Długość fali tego rodzaju drgań
λ = 2L/n = 2·0,5/4 = 0,25 m
Częstotliwość
f = v/λ = 343/0,25 = 1372 Hz
Odpowiedź
f4 = 1372 Hz
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: fb = 1006 Hz
Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.
Częstotliwość przy samochodzie
f′ = 35000·(343 − 5)/343 = 34490 Hz
Częstotliwość echa
f″ = f′·343/(343 + 5) = 33994 Hz
Częstotliwość dudnień
fb = |f″ − f| = 1006 Hz
Odpowiedź
fb = 1006 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics