Stabilność: kryterium Routha–Hurwitza i linia pierwiastkowa: karta pracy z odpowiedziami

Układ zamknięty ma równanie charakterystyczne s³ + 6s² + 6s + 53 = 0. Użyj kryterium Routha–Hurwitza, aby wyznaczyć liczbę N biegunów układu zamkniętego w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny s.

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego to s³ + a·s² + 6s + 15 = 0. Wyznacz wartość a, powyżej której układ jest stabilny.

Obiekt G(s) = (s + 8)/((s − 2)(s + 3)) ma biegun niestabilny w s = 2. Wzmocnienie proporcjonalne K zamyka wokół niego pętlę ze sprzężeniem jednostkowym. Wyznacz najmniejsze wzmocnienie K_min, przy którym układ zamknięty jest stabilny.

Pętla na schemacie ma transmitancję układu otwartego L(s) = K/(s(s + 2)(s + 8)). Wzmocnienie zwiększa się, aż układ zamknięty znajdzie się na granicy stabilności. Wyznacz częstotliwość ω drgań niegasnących.

Pokazano linię pierwiastkową dla L(s) = K/((s + 5)(s + 7)). Wyznacz wzmocnienie K w punkcie rozejścia s_b, w którym dwa bieguny układu zamkniętego spotykają się na osi rzeczywistej.

Dla L(s) = K/((s + 1)(s² + 8s + 25)) wyznacz kąt wyjścia θ_d linii pierwiastkowej z bieguna zespolonego w górnej półpłaszczyźnie, mierzony od dodatniej osi rzeczywistej.