Exercícios para o AP Statistics: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Testes qui-quadrado

Estatística de teste: χ² = Σ(O − E)²/E
Aderência: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independência: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valores críticos (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisão: rejeite H₀ se χ² > χ²_crit

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 24, 38, 48, 46, 15, 29, 14.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 15. Calcule a pontuação z z de uma nota de 77,5.

μ = 100σ = 15x = 77,5

z =

3.ProbabilidadesMédia

De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 3 pessoas num grupo de 11? A ordem não interessa.

n = 11k = 3

N =

4.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 11 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,6, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 5?

n = 11p = 0,6k = 5

P =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,9707. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,9707

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os alturas de homens adultos têm distribuição normal com média 178 cm e desvio padrão 7 cm. Arraste o ponto de corte para que os 15% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 178 cmσ = 7 cm15%

x = cm

7.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 5

r =

8.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 16?

n = 5ŷ = 16

x =

9.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 16 itens tem média 57 e desvio-padrão s = 7. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 16x̄ = 57s = 799%t(15) = 2,947

E =

10.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 9. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?

σ = 9E = 1,599%

n =

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 81 estudantes tem nota média 199,5 e desvio-padrão amostral 5. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199,5s = 5n = 81

t =

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral de H₀: μ = 100 contra H₁: μ > 100 é feito com α = 0,05 e uma amostra de 64; o desvio-padrão é conhecido e vale 4. Na realidade a média é 100,9. Encontre o poder 1 − β do teste em porcentagem.

μ₀ = 100μ = 100,9σ = 4n = 64α = 0,05

1 − β = %

13.Testes qui-quadradoMédia

A tabela de contingência mostra frequências observadas. Para um teste qui-quadrado de independência, encontre a frequência esperada E para a célula “estudantes, ônibus”.

total da linha = 76total da coluna = 53N = 109

E =

14.Testes qui-quadradoDifícil

Um teste qui-quadrado de aderência verifica se as frequências em 9 categorias seguem uma distribuição de Poisson cuja média é estimada a partir dos mesmos dados. Usando a tabela, encontre o valor crítico χ²_crit ao nível de significância α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 13,9

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 214/7 = 30,57

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−6,571)² + 7,429² + 17,43² + 15,43² + (−15,57)² + (−1,571)² + (−16,57)² = 1160

Desvio-padrão

s = √(1160/6) = 13,9

Resposta

s = 13,9

2.Estatística descritiva

Resposta: z = −1,5

Padronizar

z = (77,5 − 100)/15 = −1,5

Resposta

z = −1,5

3.Probabilidades

Resposta: N = 165

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinações

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

Resposta

N = 165

4.Probabilidades

Resposta: P = 0,1471

Fórmula binomial

P(X = 5) = 462·0,6⁵·0,4⁶ = 462·0,07776·0,004096 = 0,1471

Resposta

P = 0,1471

5.Distribuição normal

Resposta: z = 2,18

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,9707)/2 = 0,9854

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9854 dentro da tabela e leia z.

z = 2,18

Resposta

z = 2,18

6.Distribuição normal

Resposta: x = 185,3 cm

Área à esquerda

Φ(z) = 0,85

z da tabela

z ≈ 1,04

De volta às unidades originais

x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm

Resposta

x = 185,3 cm

7.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9974

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 517/5 = 103,4

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 381

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1621

Coeficiente de correlação

r = 381/√(90·1621) = 0,9974

Resposta

r = 0,9974

8.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 3,417

Médias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 85/5 = 17

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

Reta de regressão

b = −24/10 = −2,4

a = 17 − (−2,4)·3 = 24,2

ŷ = 24,2 − 2,4·x

Resolver para x

x = (16 − 24,2)/(−2,4) = 3,417

Resposta

x = 3,417

9.Intervalos de confiança

Resposta: E = 5,157

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Margem de erro

E = 2,947·7/√16 = 5,157

Resposta

E = 5,157

10.Intervalos de confiança

Resposta: n = 239

Resolver em ordem a n

n = (2,576·9/1,5)² = 238,9

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 239

Resposta

n = 239

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −0,9

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Estatística de teste

t = (199,5 − 200)/0,5556 = −0,9

Resposta

t = −0,9

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: 1 − β = 56,16 %

Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Média amostral crítica

SE = 4/√64 = 0,5

x̄_c = 100 + 1,645·0,5 = 100,8

z sob a média verdadeira

z = (100,8 − 100,9)/0,5 = −0,155

Potência

poder = P(Z > −0,155) = 56,16%

1 − β = 56,16%

Resposta

1 − β = 56,16%

13.Testes qui-quadrado

Resposta: E = 36,95

Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.

Frequência esperada

E = 76·53/109 = 36,95

Resposta

E = 36,95

14.Testes qui-quadrado

Resposta: χ²_crit = 18,48

Graus de liberdade

df = 9 − 1 − 1 = 7

Tabela

χ²_crit(df = 7, α = 0,01) = 18,475

Resposta

χ²_crit = 18,475

Rejeite H₀ se o χ² calculado for maior que este valor.

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