Exercícios para o AP Statistics: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Testes qui-quadrado

Estatística de teste: χ² = Σ(O − E)²/E
Aderência: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independência: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valores críticos (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisão: rejeite H₀ se χ² > χ²_crit

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 17, 58, 15, 46, 56.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 15. Que proporção P dos valores está abaixo de 52,5?

μ = 60σ = 15x = 52,5

P =

3.ProbabilidadesMédia

De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 2 pessoas num grupo de 15? A ordem não interessa.

n = 15k = 2

N =

4.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 6 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,7, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 3?

n = 6p = 0,7k = 3

P =

5.Distribuição normalMédia

As durações de entregas seguem uma distribuição normal com média 32 min e desvio-padrão 6 min. Que fração está entre 20,3 e 43,1 min? Dê P em forma decimal.

μ = 32σ = 6x₁ = 20,3x₂ = 43,1

P =

6.Distribuição normalDifícil

As notas de prova seguem uma distribuição normal com média 65 pontos e desvio-padrão 10 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 95% delas (o percentil 95).

μ = 65σ = 10P = 95%

x = pontos

7.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 5

r² =

8.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

9.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 8 itens tem média 111 e desvio-padrão s = 11,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 8x̄ = 111s = 11,599%t(7) = 3,499

E =

10.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 32. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 2,5?

σ = 32E = 2,590%

n =

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 100 estudantes tem nota média 48,96 e desvio-padrão amostral 4. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,96s = 4n = 100

t =

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 25 medições tem média 198,4. O desvio-padrão da população é 10. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 99 % para a média.

x̄ = 198,4σ = 10n = 2599%

U =

13.Testes qui-quadradoMédia

A tabela de contingência mostra frequências observadas. Calcule a estatística qui-quadrado χ² para o teste de independência entre as variáveis de linha e de coluna. Não use correção de continuidade.

N = 1202 × 2

χ² =

14.Testes qui-quadradoDifícil

A tabela mostra frequências observadas. Teste ao nível α = 0,05 se as duas variáveis são independentes (sem correção de continuidade). Calcule a estatística de teste χ² e depois compare-a com o valor crítico da tabela.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 20,96

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 192/5 = 38,4

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−21,4)² + 19,6² + (−23,4)² + 7,6² + 17,6² = 1757

Desvio-padrão

s = √(1757/4) = 20,96

Resposta

s = 20,96

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,3085

Padronizar

z = −0,5

Tabela da normal padrão

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Resposta

P = 0,3085

3.Probabilidades

Resposta: N = 105

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinações

C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105

Resposta

N = 105

4.Probabilidades

Resposta: P = 0,1852

Fórmula binomial

P(X = 3) = 20·0,7³·0,3³ = 20·0,343·0,027 = 0,1852

Resposta

P = 0,1852

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,9423

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (20,3 − 32)/6 = −1,95

z₂ = (43,1 − 32)/6 = 1,85

Área entre os valores

P = Φ(1,85) − Φ(−1,95) = 0,9678 − 0,02559 = 0,9423

Resposta

P = 0,9423

6.Distribuição normal

Resposta: x = 81,45 pontos

z do percentil

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

De volta a x

x = 65 + 1,645·10 = 81,45 pontos

Resposta

x = 81,45 pontos

7.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,9863

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 71/5 = 14,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 138,8

Coeficiente de determinação

r² = 74²/(40·138,8) = 0,9863

Resposta

r² = 0,9863

Cerca de 98,63% da variação de y é explicada pela reta.

8.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 65,6

Médias

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 286/5 = 57,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112

Reta de regressão

b = 112/40 = 2,8

a = 57,2 − 2,8·6 = 40,4

ŷ = 40,4 + 2,8·x

Previsão

ŷ = 40,4 + 2,8·9 = 65,6

Resposta

ŷ = 65,6

9.Intervalos de confiança

Resposta: E = 14,23

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Margem de erro

E = 3,499·11,5/√8 = 14,23

Resposta

E = 14,23

10.Intervalos de confiança

Resposta: n = 444

Resolver em ordem a n

n = (1,645·32/2,5)² = 443,4

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 444

Resposta

n = 444

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −2,6

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Estatística de teste

t = (48,96 − 50)/0,4 = −2,6

Resposta

t = −2,6

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: U = 203,6

Margem de erro

E = 2,576·10/√25 = 5,152

Limite do intervalo

U = 198,4 + 5,152 = 203,6

Resposta

U = 203,6

13.Testes qui-quadrado

Resposta: χ² = 21,82

Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.

Frequências esperadas

fumantes: 80·54/120 = 36, 80·66/120 = 44

não fumantes: 40·54/120 = 18, 40·66/120 = 22

Estatística qui-quadrado

χ² = (48 − 36)²/36 + (32 − 44)²/44 + (6 − 18)²/18 + (34 − 22)²/22

χ² = 21,82

Resposta

χ² = 21,82

gl = 1. Para α = 0,05 o valor crítico é 3,841, então H₀ (independência) é rejeitada.

14.Testes qui-quadrado

Resposta: χ² = 9,028

Frequências esperadas

linha 1: 60, 40

linha 2: 24, 16

linha 3: 36, 24

Estatística qui-quadrado

χ² = (50 − 60)²/60 + (50 − 40)²/40 + (26 − 24)²/24 + (14 − 16)²/16 + (44 − 36)²/36 + (16 − 24)²/24

χ² = 9,028

Decisão

df = 2, χ²_crit = 5,991

9,028 > 5,991

Resposta

χ² = 9,028

χ² está acima do valor crítico, então H₀ é rejeitada: as variáveis parecem estar relacionadas.

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