Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
Encontre o limite L = limx→∞ (1 + 0,5/x)3x. Dê um valor decimal.
Encontre o limite L = limx→0 (e0,5x − 1 − 0,5x)/x².
Seja f(x) = x·sin(3x), com x em radianos. Calcule f′(2).
A reta tangente a f(x) = 2x2 + 3x + 3 em x = 2 corta o eixo y em y = b. Calcule b.
Um terreno retangular de 450 m² é cercado nos quatro lados. O lado ao longo da rua, de comprimento x, custa €30 por metro; os outros três lados custam €12 por metro. Encontre o comprimento x do lado da rua que minimiza o custo.
Uma pequena empresa vende seu produto a um preço de mercado fixo de €40 por unidade. Produzir q unidades custa C(q) = 400 + 22q + 0,1q² euros. Encontre a produção q que maximiza o lucro.
A região sob y = 3x, de x = 0 até x = 2, gira em torno do eixo x. Encontre o volume V do sólido (um cone).
Calcule a área A da região limitada por y = 0,5x2 e y = 4x.
Resposta: L = 4,482
Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).
ln(1 + u)/u → 1 quando u → 0, então x·ln(1 + a/x) → a.
Resposta: L = 0,125
Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).
Resposta: f′(2) = 5,482
Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.
Resposta: b = −5
Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.
Resposta: x = 16,04 m
Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.
C″(x) = 21600/x³ > 0, então este é um mínimo.
Resposta: q = 90 unidades
Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.
P″(q) = −0,2 < 0, então este é um máximo.
Resposta: V = 75,4
Volumes de revolução: girar a região sob y = f(x), de x = a até x = b, em torno do eixo x gera um sólido cuja seção transversal em x é um disco de raio f(x). Somar os discos dá V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando a região fica entre uma curva externa R(x) e uma curva interna r(x), cada fatia é uma arruela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleve os raios ao quadrado antes de subtraí-los.
Verificação: um cone de raio 6 e altura 2 tem (1/3)πr²h = 75,4.
Resposta: A = 42,67
Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.
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