Cálculo 1: exercícios e questões de prova

Derivadas e integrais: as regras de derivação, aplicações como retas tangentes e otimização, e as principais técnicas de integração.

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Pacote de revisão (PDF)Formulários, etapas dos métodos e exercícios com soluções completas, prontos para imprimir.

Tópicos desta disciplina

  1. Limitessubstituição direta e fatoração · limites no infinito · Regra de L'Hôpitalcálculos
  2. Derivadasregra da potência · regras da cadeia e do produto · tangentes e extremoscálculos
  3. Otimizaçãoárea ou volume máximo · custo ou material mínimo · lucro e receitacálculos
  4. Integraispolinómios · exponenciais, logaritmos e substituição · áreas entre curvascálculos

Dicas de prova para Cálculo 1

  • Escreva a regra da cadeia por completo: a derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro.
  • Confira uma integral derivando sua resposta.
  • Numa integral definida, uma substituição também muda os limites de integração.

Exemplos resolvidos

LimitesFácil
xyx = 1

Encontre o limite L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Calcule L

Mostrar dicas
  1. A substituição dá 0/0. Fatore o numerador.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Tentar a substituição direta

numerador → 0 e denominador → 0, então a forma é 0/0.

Fatorar e cancelar

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Substituir

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Resposta

L = 4

Isso é a derivada de xⁿ em x = a: n·aⁿ⁻¹.

DerivadasMédia
xyx = 1

Seja f(x) = x3·e−x. Calcule f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Calcule f′(1)

Mostrar dicas
  1. Regra do produto com u = x3 e v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra do produto

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Substituir

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Resposta

f′(1) = 0,7358

Como a prática funciona

  • “Praticar esta disciplina” mistura exercícios de todos os seus tópicos, como numa prova de verdade.
  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Os exames simulados são cronometrados e não têm dicas; no final você recebe sua nota e uma revisão completa.

Calculadoras para esta disciplina

Calculadora de derivadas com passo a passoCalculadora de integrais (definida e indefinida)

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