Cálculo 2: exercícios e questões de prova

O segundo curso de cálculo: técnicas de integração, sequências e séries com testes de convergência, séries de potências e polinômios de Taylor, e cálculo de várias variáveis com derivadas parciais, gradientes, pontos críticos e integrais duplas. Dependendo do currículo, parte desse conteúdo é ensinada como Cálculo 3.

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Pacote de revisão (PDF)Formulários, etapas dos métodos e exercícios com soluções completas, prontos para imprimir.

Tópicos desta disciplina

Dicas de prova para Cálculo 2

Antes de qualquer teste de convergência, verifique se os termos tendem a 0; se não tendem, a série diverge.
Escreva o polinômio de Taylor com os fatoriais no lugar antes de substituir um número.
Para uma integral dupla, esboce primeiro a região: o esboço dá os limites da integral interna.

Exemplos resolvidos

IntegraisFácil

A região sob y = 0,5x, de x = 0 até x = 3, gira em torno do eixo x. Encontre o volume V do sólido (um cone).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Calcule V

Mostrar dicas

Uma fatia em x é um disco de raio y = 0,5x.
V = π∫₀³ (0,5x)² dx.
= π·0,25·x³/3.

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Volumes de revolução: girar a região sob y = f(x), de x = a até x = b, em torno do eixo x gera um sólido cuja seção transversal em x é um disco de raio f(x). Somar os discos dá V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Quando a região fica entre uma curva externa R(x) e uma curva interna r(x), cada fatia é uma arruela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleve os raios ao quadrado antes de subtraí-los.

Método dos discos

V = π∫₀³ 0,25x² dx

Integrar

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Resposta

V = 7,069

Verificação: um cone de raio 1,5 e altura 3 tem (1/3)πr²h = 7,069.

Sequências e sériesMédia

Encontre a soma S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3)).

a_k = 12/(k(k + 3))

Calcule S

Mostrar dicas

Frações parciais: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
Escreva os primeiros termos: a maioria deles se cancela (uma soma telescópica).
O que resta é (12/3)·(1 + … + 1/3).

Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |a_k+1/a_k|; teste da raiz: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σc_k(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |c_k/c_k+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.

Frações parciais

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Cancelar

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Resposta

S = 7,333

Como a prática funciona

“Praticar esta disciplina” mistura exercícios de todos os seus tópicos, como numa prova de verdade.
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Os exames simulados são cronometrados e não têm dicas; no final você recebe sua nota e uma revisão completa.

Calculadoras para esta disciplina

Calculadora de meia-vida e decaimento exponencial Calculadora de integrais (definida e indefinida)

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