Equações diferenciais: exercícios com soluções passo a passo
Também chamado: equações diferenciais ordinárias · EDO
Exercícios grátis de Equações diferenciais com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: crescimento e decaimento exponencial, Lei de resfriamento de Newton, lineares de primeira ordem.
Aprenda Equações diferenciais do zero
Antes disso: Derivadas, Integrais
1O que é uma equação diferencial
Uma equação diferencial liga uma grandeza à sua própria taxa de variação. Ela descreve como algo muda, não o que é.
As bactérias se dividem, então uma colônia maior cresce mais rápido. A taxa de crescimento é proporcional ao número de células N:
dN/dt = k · N
Aqui dN/dt é a derivada de N em relação ao tempo t, e k é a constante de taxa. Com k = 0,4 h⁻¹ e N = 1000 células, a colônia cresce 400 células por hora nesse instante.
Resolver a equação significa encontrar a própria função N(t). Você também precisa de um valor inicial, como N(0) = 200. Isso se chama condição inicial.
Autoavaliação Uma população segue dN/dt = 0,2 · N. Neste momento N = 500. Com que rapidez ela cresce?
- 0,2 por hora
- 100 por hora
- 2500 por hora
- 500 por hora
Resposta: 100 por hora. Substitua os números na equação: dN/dt = 0,2 · 500 = 100. Dividir 500 por 0,2 dá 2500, o que usa k ao contrário.
2Crescimento e decaimento exponencial
A equação dy/dt = k·y sempre tem a mesma solução, uma função exponencial:
y(t) = y0 · ekt
Aqui y0 é o valor em t = 0. Um k positivo significa crescimento. Para o decaimento, a equação é dy/dt = −k·y e a solução é y = y0e−kt.
O decaimento radioativo costuma ser dado pela sua meia-vida t½: o tempo depois do qual resta metade da substância. A constante de taxa decorre dela:
k = ln 2 / t½
Para encontrar um tempo, tome o logaritmo natural dos dois lados:
t = ln(y / y0) / k
Por exemplo, 200 células crescendo com k = 0,4 h⁻¹ chegam a 1000 células depois de t = ln(5)/0,4 ≈ 4,02 h.
Autoavaliação Uma substância tem meia-vida de 10 dias. Você começa com 80 mg. Quanto resta depois de 20 dias?
- 0 mg
- 20 mg
- 40 mg
- 60 mg
Resposta: 20 mg. 20 dias são duas meias-vidas: 80 → 40 → 20 mg. 0 mg vem de pensar que duas metades formam o todo; a quantidade se divide pela metade a cada vez.
3Resfriamento e equações lineares
Lei de resfriamento de Newton: um objeto quente esfria mais rápido quando está muito mais quente que o ambiente. Com a temperatura ambiente Ta:
dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt
A diferença T − Ta decai exponencialmente, então a temperatura tende à temperatura ambiente e nunca fica abaixo dela.
Para encontrar k a partir de uma medida, substitua os valores conhecidos e tome ln: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.
Uma equação linear de primeira ordem tem a forma y′ + p(x)·y = q(x). Multiplique-a pelo fator integrante μ:
μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q
Depois integre os dois lados e divida por μ. Para p = 2/x, μ = e2 ln x = x².
Autoavaliação Um chá a 90 °C é deixado numa sala a 20 °C. De qual temperatura ele se aproxima depois de um tempo muito longo?
- 0 °C
- 20 °C
- 55 °C
- 90 °C
Resposta: 20 °C. O termo (T0 − Ta)e−kt tende a 0, então T se aproxima de Ta = 20 °C. 0 °C seria a resposta se você esquecesse a temperatura ambiente.
4O método passo a passo
- Reconheça o tipo: dy/dt = ky (crescimento ou decaimento), resfriamento de Newton, ou y′ + p(x)y = q(x).
- Escreva a solução padrão para esse tipo.
- Use os dados fornecidos para encontrar as constantes: y0 a partir do início, k a partir de uma meia-vida ou de uma segunda medida.
- Responda à pergunta: substitua um tempo para achar um valor, ou use ln para achar um tempo.
- Confira as unidades de k (h⁻¹, min⁻¹) com as unidades de t.
Para uma equação linear: encontre μ, integre (μy)′ = μq, some a constante C e use a condição inicial para encontrar C.
5Um exemplo resolvido
Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.
Exemplo resolvidoUm traçador radioativo tem meia-vida de 8 dias. Uma amostra contém 60 mg no início. O decaimento segue dm/dt = −k·m. Quanto m resta depois de 12 dias?
1Este é um decaimento exponencial, então a solução é:
m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2k = ln 2 / 8 = 0,6931 / 8 = 0,08664 dia⁻¹
3k · t = 0,08664 · 12 = 1,0397
m = 60 · e−1,0397 = 60 · 0,3536 = 21,21 mg
412 dias são 1,5 meias-vidas. Depois de 8 dias restam 30 mg e depois de 16 dias 15 mg, então 21,2 mg fica entre eles, como esperado.
60 · 0,51,5 = 21,21 mg
Resposta Restam m ≈ 21,2 mg depois de 12 dias.
6Erros comuns
- Na lei de resfriamento de Newton, esquecer de subtrair e somar de volta a temperatura ambiente Ta.
- Usar um expoente positivo para o decaimento, de modo que a quantidade cresce em vez de diminuir.
- Usar log10 em vez do logaritmo natural ln.
- Misturar unidades de tempo, como k em min⁻¹ com t em horas.
- Com um fator integrante, multiplicar só o lado esquerdo por μ.
Autoavaliação Uma peça a 80 °C esfria numa sala a 20 °C. Num certo instante t, e−kt = 0,5. Qual é a temperatura dela então?
- 30 °C
- 40 °C
- 50 °C
- 60 °C
Resposta: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0,5 = 20 + 30 = 50 °C. Dividir 80 diretamente pela metade dá 40 °C, o que esquece a temperatura ambiente.
7Como são as questões de prova
- Fácil: crescimento e decaimento exponencial. Encontre a quantidade após um tempo, ou o tempo para atingir uma quantidade, muitas vezes a partir de uma meia-vida.
- Médio: lei de resfriamento de Newton. Use uma medida para encontrar k e depois encontre uma temperatura ou um tempo.
- Difícil: uma equação linear de primeira ordem como y′ + 2y/x = 3 com y(1) = 1. Use o fator integrante e encontre y em outro x.
Uma verificação rápida: as respostas de decaimento e de resfriamento devem ficar entre o valor inicial e o valor final (0, ou a temperatura ambiente).
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