Estatística descritiva: exercícios com soluções passo a passo
Também chamado: média · desvio padrão · mediana · variância
Exercícios grátis de Estatística descritiva com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: média e mediana, desvio-padrão, distribuição normal.
Exercício gratuitoFácil
Calcule a média x̄ dos dados: 4, 14, 15, 20, 40, 37, 14, 33, 33.
A estatística descritiva resume uma lista de números, chamada de dados, com poucos valores. A primeira pergunta é: onde está o centro?
A média é a média comum: some todos os valores e divida pela quantidade deles, n.
x̄ = Σx / n
O símbolo Σ significa “some tudo”, e x̄ se lê “x barra”. Para 3, 5 e 10 a média é 18/3 = 6.
A mediana é o valor do meio depois de você ordenar os dados do menor para o maior.
n ímpar: a mediana é o único valor do meio. Para 3, 5, 10 é 5.
n par: a mediana é a média dos dois valores do meio.
Um único valor extremo, um valor atípico (outlier), puxa a média em sua direção mas quase não move a mediana. Por isso a renda costuma ser resumida pela mediana.
Autoavaliação Qual é a mediana de 4, 40, 29, 22, 17, 20?
20
21
22
25,5
Resposta: 21. Ordenados: 4, 17, 20, 22, 29, 40. Os dois valores do meio são 20 e 22, então a mediana é 21. 25,5 vem de tomar o meio da lista sem ordenar; 22 é a média.
2A dispersão: desvio-padrão
Dois conjuntos de dados podem ter a mesma média mas uma dispersão muito diferente. O desvio-padrão s mede a que distância da média os valores costumam ficar.
Cada valor tem um desvio x − x̄. Os desvios somam zero, então você os eleva ao quadrado primeiro, o que os torna todos positivos.
s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
Este é o desvio-padrão amostral: você divide por n − 1, e não por n. O quadrado de s se chama variância.
Para 2, 4 e 6: a média é 4, os desvios são −2, 0 e 2, os quadrados somam 8, 8/2 = 4, e s = √4 = 2.
Autoavaliação Qual é o desvio-padrão amostral de 2, 4 e 6?
0
1,633
2
4
Resposta: 2. Σ(x − x̄)² = 8, dividido por n − 1 = 2 dá 4, e √4 = 2. Dividir por n = 3 dá 1,633; 4 esquece a raiz quadrada, e 0 é a soma dos desvios antes de elevar ao quadrado.
3Escores z e a distribuição normal
Muitas medidas, como alturas ou notas de provas, seguem uma curva em forma de sino: a distribuição normal. Seu centro é a média μ e sua largura é o desvio-padrão σ.
Um escore z diz a quantos desvios-padrão um valor está da média:
z = (x − μ) / σ
Com μ = 70 e σ = 10, uma nota 74 tem z = 4/10 = 0,4. Um z negativo significa que o valor está abaixo da média.
A regra 68–95–99,7: cerca de 68% dos valores ficam a até 1σ da média, 95% a até 2σ e 99,7% a até 3σ.
Com μ = 50 e σ = 5, o valor 60 tem z = 2. Cerca de 95% fica entre 40 e 60, então cerca de 2,5% fica acima de 60. Uma tabela z dá o valor exato 0,0228.
Autoavaliação As pontuações de QI são normais com μ = 100 e σ = 15. Aproximadamente que porcentagem das pessoas pontua acima de 115?
16%
32%
34%
68%
Resposta: 16%. 115 está 1σ acima da média. 68% fica dentro de 1σ, então 32% fica fora, dividido igualmente entre as duas caudas: 16% acima. 32% esquece de dividir entre as duas caudas.
4O método passo a passo
Escreva os dados em uma linha e conte n.
Média: some tudo e divida por n.
Mediana: ordene primeiro, depois tome o valor do meio, ou a média dos dois valores do meio.
Desvio-padrão: subtraia a média de cada valor, eleve ao quadrado, some, divida por n − 1 e tire a raiz quadrada.
Escore z: subtraia μ e divida por σ. Depois use a regra 68–95–99,7 ou uma tabela z para obter uma proporção.
Uma tabela com as colunas x, x − x̄ e (x − x̄)² mantém organizado o cálculo do desvio-padrão.
5Um exemplo resolvido
Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.
Exemplo resolvido
Encontre a média, a mediana e o desvio-padrão amostral s dos dados: 4, 8, 6, 5, 7.
1
A média
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2
A mediana
Ordenados: 4, 5, 6, 7, 8. Com n = 5 o valor do meio é o terceiro.
mediana = 6
3
Desvios e quadrados
Subtraia a média de cada valor: −2, 2, 0, −1, 1. Confira: somam 0.
Eleve ao quadrado: 4, 4, 0, 1, 1.
Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4
Divida por n − 1
s² = 10 / (5 − 1) = 2,5
5
Tire a raiz quadrada
s = √2,5 ≈ 1,58
Confira: os valores ficam a 0, 1 ou 2 da média, então uma distância típica de cerca de 1,6 faz sentido.
Resposta
Média x̄ = 6, mediana 6 e s ≈ 1,58.
6Erros comuns
Tomar o meio da lista sem ordená-la antes.
Dividir por n em vez de n − 1 no desvio-padrão amostral.
Esquecer a raiz quadrada no final, o que dá a variância em vez de s.
Errar o sinal de um escore z: um valor abaixo da média tem z negativo.
Esquecer de dividir por σ no escore z.
Autoavaliação As notas de uma prova têm média 70 e desvio-padrão 10. Qual é o escore z de uma nota 60?
1
6
−10
−1
Resposta: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1. A nota está abaixo da média, então z é negativo. −10 esquece de dividir por σ.
7Como são as questões de prova
Fácil: a média ou a mediana de uma lista curta de dados.
Médio: o desvio-padrão amostral de cinco ou seis valores. Divida por n − 1.
Difícil: a distribuição normal. Encontre um escore z, ou a proporção de valores acima ou abaixo de um dado valor.
Uma verificação rápida: a média e a mediana ficam entre o menor e o maior valor, e s nunca é negativo.
Calcule a mediana M dos dados: 39, 11, 3, 28, 18, 17, 40, 40, 5.
n = 9
Calcule M
Mostrar dicas
Ordene os valores do menor para o maior.
Com um número ímpar de valores, a mediana é o do meio.
ordenados: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
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Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Ordenar
3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40
Valor central
M = 18
Resposta
M = 18
Exemplo 2Média
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 26, 57, 34, 22, 53, 13, 59.
n = 7
Calcule s
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Calcule primeiro a média.
Eleve ao quadrado cada desvio em relação à média, some-os, divida por n − 1 e tire a raiz quadrada.
x̄ = 37,71.
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Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 12. Que proporção P dos valores está abaixo de 36?
μ = 60σ = 12x = 36
Calcule P
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Converta primeiro numa pontuação z.
z = (36 − 60)/12 = −2.
Leia Φ(z) na tabela da normal padrão.
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Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −2
Tabela da normal padrão
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Resposta
P = 0,02275
Perguntas e respostas
Estatística descritiva: o que é?
A estatística descritiva resume uma lista de números, chamada de dados, com poucos valores. A primeira pergunta é: onde está o centro?
A média é a média comum: some todos os valores e divida pela quantidade deles, n.
Estatística descritiva: como resolver os exercícios passo a passo?
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: o que se pratica?
Fácil: média e mediana
Média: desvio-padrão
Difícil: distribuição normal
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Como a prática funciona
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.