Conjuntos, relações e funções: exercícios com soluções passo a passo

1Conjuntos e operações com conjuntos

Um conjunto é uma coleção de elementos distintos: A = {1, 2, 3}. A ordem e a repetição não importam. |A| é o número de elementos, e U é o conjunto universo, que contém tudo o que está em discussão.

• A ∪ B (união): os elementos que estão em A ou em B ou em ambos.
• A ∩ B (interseção): os elementos que estão em ambos.
• A − B (diferença): os elementos de A que não estão em B.
• A′ (complemento): os elementos de U que não estão em A.

Num diagrama de Venn, dois círculos dividem U em quatro regiões: só A, ambos, só B e nenhum. Toda expressão de conjuntos é uma união de algumas dessas regiões, então sempre é possível contá-la região por região.

Aqui |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25 e |(A ∪ B)′| = 15.

2Contagem por inclusão–exclusão

Somar |A| e |B| conta a interseção duas vezes, então subtraia-a uma vez:

Para três conjuntos, subtraem-se as interseções dois a dois, mas então o centro foi removido três vezes, por isso é somado de volta:

Em problemas de enunciado, geralmente é mais seguro preencher um diagrama de Venn do centro para fora: primeiro os elementos nos três conjuntos, depois cada par menos o centro, depois cada conjunto sozinho menos o que já foi colocado.

Duas outras contagens aparecem com frequência: um conjunto com n elementos tem 2ⁿ subconjuntos (seu conjunto das partes 𝒫(A)), e |A × B| = |A|·|B| pares ordenados.

3Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

4Relações

Uma relação R num conjunto X é um conjunto de pares ordenados (x, y) com x e y em X. Desenhada como um grafo direcionado, cada par é uma seta e (x, x) é um laço.

• Reflexiva: (x, x) ∈ R para todo x: um laço em cada vértice.
• Simétrica: (x, y) ∈ R sempre vem acompanhado de (y, x) ∈ R.
• Antissimétrica: (x, y) e (y, x) estão ambos em R somente quando x = y.
• Transitiva: (x, y) e (y, z) em R forçam (x, z) ∈ R.

Uma relação reflexiva, simétrica e transitiva é uma relação de equivalência. Ela divide X em classes disjuntas, como os restos 0, 1 e 2 para “x ≡ y (mod 3)”. Uma classe com s elementos contribui com s² pares ordenados.

Para refutar uma propriedade, um contraexemplo basta; para prová-la, verifique todos os pares.

5Funções

Uma função f: A → B dá a cada elemento de A exatamente uma imagem em B.

• Injetora (um a um): elementos diferentes têm imagens diferentes; nenhum elemento de B recebe duas setas.
• Sobrejetora: todo elemento de B recebe pelo menos uma seta.
• Bijetora: as duas coisas. Só então f tem uma inversa f⁻¹.

A função da figura é injetora, mas não sobrejetora: d não recebe nenhuma seta. Uma injeção exige |A| ≤ |B| e uma sobrejeção |A| ≥ |B|.

Com |A| = m e |B| = n há nᵐ funções e n!/(n − m)! injetoras. A composição (g ∘ f)(x) = g(f(x)) aplica f primeiro.

6Erros comuns

• Somar |A| + |B| sem subtrair a interseção.
• Esquecer de somar de volta o centro na inclusão–exclusão de três conjuntos.
• Escrever mⁿ em vez de nᵐ para o número de funções de m elementos em n elementos.
• Achar que uma relação não pode ser simétrica e antissimétrica ao mesmo tempo: a relação {(1, 1)} é as duas coisas.
• Aplicar g ∘ f na ordem errada: f age primeiro.

7Como são as questões de prova

• Fácil: diagramas de Venn e subconjuntos. Você conta uma expressão de conjuntos a partir de um diagrama de Venn, clica na região de uma expressão ou encontra o tamanho de um conjunto das partes, de um produto cartesiano ou de uma família de subconjuntos.
• Médio: inclusão–exclusão e relações. Você resolve problemas de contagem com dois e três conjuntos, conta expressões a partir de totais de regiões, decide qual propriedade uma relação tem ou conta os pares necessários para um fecho.
• Difícil: funções e contagem. Você classifica uma função como injetora, sobrejetora ou bijetora, conta funções, injeções e sobrejeções, calcula composições e inversas e conta pares em relações de equivalência.