Matrizes e determinantes: exercícios com soluções passo a passo
Também chamado: determinantes · matriz inversa
Exercícios grátis de Matrizes e determinantes com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: determinante 2×2, 3×3 e produtos, valores próprios e sistemas.
Aprenda Matrizes e determinantes do zero
1Matrizes e o determinante 2×2
Uma matriz é uma tabela de números em linhas e colunas. Uma matriz com 2 linhas e 3 colunas é chamada de matriz 2×3: primeiro as linhas, depois as colunas.
Engenheiros usam matrizes para escrever muitas equações de uma vez. O sistema 2x + y = 5 e x − y = 1 é guardado como a matriz [2 1; 1 −1] de seus coeficientes.
Uma matriz quadrada tem um número especial, seu determinante, escrito det A. Para uma matriz 2×2, é o produto de uma diagonal menos o produto da outra.
det A = a·d − b·c
Para [3 1; 2 4] o determinante é 3·4 − 1·2 = 10.
Se det A = 0, a matriz não tem inversa, e o sistema de equações não tem uma única solução.
Autoavaliação Qual é o determinante de [4 2; 3 5]? (A linha 1 é 4 2, a linha 2 é 3 5.)
- 14
- 26
- 9
- −14
Resposta: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14. Somar os dois produtos dá 26, e calcular bc − ad dá −14.
2Determinantes 3×3 e produtos
Para uma matriz 3×3, expanda ao longo da primeira linha. Cada elemento é multiplicado pelo seu menor: o determinante 2×2 que sobra quando você risca a linha e a coluna desse elemento.
det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13
Os sinais são + − + ao longo da primeira linha. Esse padrão de sinais é a parte mais fácil de esquecer.
Um produto de matrizes AB é construído com linhas de A e colunas de B. O elemento da linha i, coluna j é a linha i de A vezes a coluna j de B: multiplique os pares e some.
[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]
O produto só existe quando A tem tantas colunas quanto B tem linhas. Em geral AB não é igual a BA.
Autoavaliação A = [2 1; 0 3] e B = [1 4; 2 1]. Qual é o elemento da linha 1, coluna 2 de AB?
- 13
- 4
- 6
- 9
Resposta: 9. A linha 1 de A é (2, 1) e a coluna 2 de B é (4, 1): 2·4 + 1·1 = 9. Multiplicar apenas os elementos correspondentes dá 1·4 = 4, e 13 é o elemento de BA.
3Autovalores e sistemas
Um autovalor λ de A é um número para o qual A·v = λ·v para algum vetor v ≠ 0. A matriz apenas estica esse vetor, não o gira.
Os autovalores são encontrados pela equação característica. Aqui I é a matriz identidade [1 0; 0 1].
det(A − λI) = 0
Para uma matriz 2×2 isso vira uma equação de segundo grau. Seu coeficiente do meio é o traço a + d, e seu termo constante é det A:
λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0
Para [4 1; 2 3]: λ² − 7λ + 10 = 0, então (λ − 2)(λ − 5) = 0 e os autovalores são 2 e 5.
A regra de Cramer resolve um sistema com determinantes. Substitua a coluna i de A pelo lado direito para obter Ai, então xi = det Ai / det A.
Para 2x + y = 5 e x − y = 1: det A = −3 e det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6, então x = −6/−3 = 2.
Autoavaliação Qual é o maior autovalor de [2 1; 1 2]?
- 1
- 2
- 3
- 4
Resposta: 3. λ² − 4λ + 3 = 0 dá (λ − 1)(λ − 3) = 0, então os autovalores são 1 e 3. 4 é o traço, que é a soma dos autovalores, não um deles.
4O método passo a passo
- Copie a matriz com cuidado, com todos os sinais de menos.
- Determinante 2×2: ad − bc.
- Determinante 3×3: para cada elemento da primeira linha, risque sua linha e sua coluna e encontre o menor 2×2.
- Combine com os sinais + − +: a11M11 − a12M12 + a13M13.
- Autovalores: escreva λ² − (a + d)λ + det A = 0 e resolva a equação de segundo grau.
- Verifique: uma linha de zeros, ou duas linhas iguais, sempre dá det A = 0.
Dica: expanda ao longo de uma linha ou coluna com muitos zeros. Cada elemento nulo poupa um menor.
5Um exemplo resolvido
Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.
Exemplo resolvidoEncontre o determinante da matriz 3×3 A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4].
1Risque a linha 1 e a coluna 1 do elemento 2. O que sobra é [3 1; 2 4].
M11 = 3·4 − 1·2 = 10
2Risque a linha 1 e a coluna 2 do elemento 1. O que sobra é [1 1; 0 4].
M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3O elemento a13 é 0, então seu termo é 0 qualquer que seja o menor. Você pode pulá-lo.
4det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
5Para matrizes 3×3, a regra de Sarrus dá o mesmo valor: três produtos das diagonais “descendentes” menos três produtos das diagonais “ascendentes”.
(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
6Erros comuns
- Esquecer o sinal de menos do termo do meio na expansão 3×3.
- Calcular bc − ad em vez de ad − bc.
- Perder um sinal de menos quando um elemento é negativo: −2 · −3 é +6.
- Multiplicar matrizes elemento por elemento em vez de linha por coluna.
- Tomar o traço ou um elemento da diagonal como autovalor em vez de resolver a equação característica.
Autoavaliação Qual é o determinante de [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2]?
- 10
- 14
- −10
- −14
Resposta: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10. Usar + no termo do meio dá 2 + 12 = 14, o deslize mais comum.
7Como são as questões de prova
- Fácil: o determinante de uma matriz 2×2, muitas vezes com elementos negativos. Use ad − bc.
- Médio: um determinante 3×3 ou um produto de matrizes. Expanda ao longo da primeira linha com + − +.
- Difícil: autovalores de uma matriz 2×2, ou uma incógnita de um sistema 2×2 com a regra de Cramer.
Uma verificação rápida para autovalores: eles devem somar o traço a + d e ter produto det A.
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