Calculadora de autovalores e autovetores
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Resultado
| Autovalor | Multiplicidade | Autovetor | Autovetor unitário |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | (2, 0, 1) | (0,8944, 0, 0,4472) |
| 3 | 1 | (1, 1, −1) | (0,5774, 0,5774, −0,5774) |
| 2 | 1 | (1, 0, −1) | (0,7071, 0, −0,7071) |
Encontre os autovalores e autovetores de uma matriz 2×2 ou 3×3. A calculadora expande det(A − λI) no polinômio característico, resolve-o para autovalores reais ou complexos com sua multiplicidade e encontra os autovetores de cada autovalor real resolvendo (A − λI)v = 0. Cada autovetor é verificado calculando A·v e, para autovalores repetidos, mostra se a matriz pode ser diagonalizada.
Solução passo a passo
Equação característica det(A − λI) = 0
Valores próprios
Autovetor (λ = 5)
Autovetor (λ = 3)
Autovetor (λ = 2)
Fórmulas principais
- Valores próprios
- det(A − λI) = 0
Como encontrar autovalores e autovetores
- Subtraia λ de cada elemento da diagonal de A para obter A − λI.
- Iguale o determinante a zero: det(A − λI) = 0. Para uma matriz 2×2 isso é λ² − (tr A)λ + det A = 0; para uma matriz 3×3 é uma equação cúbica.
- Resolva a equação característica. Verificação: os autovalores somam o traço e multiplicam o determinante.
- Para cada autovalor, resolva (A − λI)v = 0 por escalonamento. As soluções formam uma reta (ou um plano); qualquer vetor não nulo nela é um autovetor.
- Verifique cada autovetor: A·v deve ser igual a λ·v.
Perguntas e respostas
Como digito a matriz?
Digite as linhas separadas por ponto e vírgula e os números de cada linha separados por espaços, por exemplo 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 para uma matriz 3×3. São permitidos decimais e números negativos.
Por que uma matriz pode ter autovalores complexos?
O polinômio característico pode ter raízes complexas e, para uma matriz real, elas sempre aparecem em pares conjugados. A matriz de rotação 0 -1; 1 0 tem os autovalores ±i, porque nenhum vetor real mantém sua direção em uma rotação.
O que significa um autovalor repetido?
Uma raiz do polinômio característico com multiplicidade 2 ou 3. A matriz ainda pode ter essa quantidade de autovetores independentes, como a matriz identidade, ou menos. Com menos, ela é defectiva e não pode ser diagonalizada.
O autovetor é único?
Não. Qualquer múltiplo não nulo de um autovetor também é um autovetor. A calculadora mostra uma forma simples, com números inteiros quando possível, e o vetor unitário de comprimento 1.
Para que servem os autovalores?
Eles dão as frequências naturais de sistemas vibratórios, as tensões principais de um tensor de tensões, a estabilidade de sistemas de equações diferenciais e as direções principais na análise de componentes principais.
Pratique você mesmo
Pratique Matrizes e determinantes
Uma calculadora dá a resposta. Na prova você precisa do método: pratique-o com exercícios novos, dicas e soluções resolvidas.