Calculadora da distribuição binomial
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Resultado
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,02825 | 0,02825 |
| 1 | 0,1211 | 0,1493 |
| 2 | 0,2335 | 0,3828 |
| 3 | 0,2668 | 0,6496 |
| 4 | 0,2001 | 0,8497 |
| 5 | 0,1029 | 0,9527 |
| 6 | 0,03676 | 0,9894 |
| 7 | 0,009002 | 0,9984 |
| 8 | 0,001447 | 0,9999 |
| 9 | 0,0001378 | 1 |
| 10 | 5,905 × 10⁻⁶ | 1 |
Calcule probabilidades binomiais para n tentativas independentes, cada uma com probabilidade p de sucesso: exatamente x sucessos, no máximo x, pelo menos x, menos de x ou mais de x. A calculadora mostra a fórmula binomial, cada termo somado (ou o complementar, mais curto), a média np e o desvio-padrão √(np(1 − p)). Para n até 30, ela também lista toda a distribuição em uma tabela.
Solução passo a passo
Fórmula da probabilidade binomial
Some as probabilidades
Média e desvio-padrão
Fórmulas principais
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
- Complementar
- P(not A) = 1 − P(A)
Como calcular probabilidades binomiais
- Verifique se a situação é binomial: um número fixo de tentativas n, dois resultados possíveis por tentativa, a mesma probabilidade de sucesso p em todas e tentativas independentes.
- Para exatamente x sucessos, use P(X = x) = C(n, x)·pˣ·(1 − p)ⁿ⁻ˣ, em que C(n, x) = n!/(x!(n − x)!) conta as ordens em que os sucessos podem ocorrer.
- Para “no máximo x”, some de P(X = 0) até P(X = x). Para “pelo menos x”, some de P(X = x) até P(X = n).
- Se a soma tiver muitos termos, use o complementar: P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1).
- Traduza as palavras com cuidado: “menos de 4” é X ≤ 3 e “mais de 4” é X ≥ 5.
Perguntas e respostas
Quais são a média e o desvio-padrão de uma distribuição binomial?
A média é μ = np e a variância é σ² = np(1 − p), então o desvio-padrão é σ = √(np(1 − p)). Para n = 10 e p = 0,3 isso dá μ = 3 e σ = 1,449.
Qual é a diferença entre “pelo menos” e “mais de”?
“Pelo menos 3” inclui o 3: P(X ≥ 3). “Mais de 3” não inclui: P(X > 3) = P(X ≥ 4). Em uma distribuição discreta esses números são diferentes, então escolha a opção que corresponde ao enunciado da questão.
Por que a calculadora às vezes usa o complementar?
Como todas as probabilidades somam 1, P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1). Quando o complementar tem menos termos, é mais rápido à mão, e os passos mostram esse caminho. O resultado é o mesmo.
Qual pode ser o tamanho de n?
Até 10 000 tentativas. Os termos são calculados com logaritmos, então os fatoriais grandes não estouram e as probabilidades continuam precisas.
Quando a distribuição binomial não é o modelo certo?
Quando as tentativas não são independentes ou p muda, por exemplo ao retirar sem reposição de um grupo pequeno: isso segue a distribuição hipergeométrica. Quando n é grande e p é pequeno, a distribuição de Poisson com λ = np é uma boa aproximação.
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Uma calculadora dá a resposta. Na prova você precisa do método: pratique-o com exercícios novos, dicas e soluções resolvidas.