Probabilidades: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: probabilidade condicional · diagrama de árvore

Exercícios grátis de Probabilidades com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: resultados equiprováveis, contagem e complementar, distribuição binomial.

Exercício gratuitoFácil
soma ≥ 4dado 1dado 2112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

Lançam-se dois dados equilibrados. Qual é a probabilidade P de a soma ser pelo menos 4?

2 dados≥ 4

Indique a probabilidade como número decimal entre 0 e 1.

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O que você pratica

  1. Fácilresultados equiprováveis
  2. Médiacontagem e complementar
  3. Difícildistribuição binomial

Fórmulas principais

Complementar
P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Aprenda Probabilidades do zero

1O que é probabilidade

Uma probabilidade é um número entre 0 e 1 que diz quão provável é algo. 0 significa que nunca acontece, 1 significa que sempre acontece.

Quando todos os resultados são igualmente prováveis, conte-os:

P(A) = número de resultados favoráveis / número total de resultados

Uma sacola tem 3 bolas vermelhas, 5 azuis e 2 verdes, 10 no total. Se você tirar uma ao acaso, P(azul) = 5/10 = 0,5.

Um dado justo tem 6 faces, então P(seis) = 1/6 ≈ 0,167 e P(par) = 3/6 = 0,5.

Uma probabilidade também pode ser escrita como porcentagem: 0,5 é 50%. As respostas de prova costumam ser decimais entre 0 e 1.

Autoavaliação Uma sacola tem 2 bolas vermelhas, 8 azuis e 4 verdes. Você tira uma ao acaso. Quanto vale P(vermelha)?
  1. 2/12 ≈ 0,167
  2. 2/14 ≈ 0,143
  3. 2/8 = 0,25
  4. 2

Resposta: 2/14 ≈ 0,143. Há 2 + 8 + 4 = 14 bolas, e 2 são vermelhas: 2/14 ≈ 0,143. Dividir por 12 conta só as outras bolas, mas o total deve incluir também as vermelhas.

2Regras para combinar eventos

  • Complemento: P(não A) = 1 − P(A). Use-o nas questões de “pelo menos um”: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum).
  • E, eventos independentes: multiplique. Duas moedas justas dão P(duas caras) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
  • Ou: P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A e B). Subtraia a interseção para não contá-la duas vezes.

Tirar sem reposição muda a sacola. Depois de retirar uma bola vermelha, há uma bola vermelha a menos e uma bola a menos no total.

Com 5 bolas vermelhas e 4 azuis, P(duas vermelhas) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278.

Para contar grupos em que a ordem não importa, use combinações. O número de maneiras de escolher k itens entre n é:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Aqui n! = n · (n − 1) · … · 1. Então C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 comissões de 4 pessoas entre 6.

Autoavaliação Uma sacola tem 5 bolas vermelhas e 4 azuis. Você tira duas sem devolver a primeira. Quanto vale P(as duas vermelhas)?
  1. 0,139
  2. 0,278
  3. 0,309
  4. 0,556

Resposta: 0,278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278. Usar 5/9 · 5/9 ≈ 0,309 esquece que a primeira bola vermelha não está mais na sacola.

3A distribuição binomial

Algumas questões repetem a mesma tentativa n vezes: testar 5 componentes, chutar 8 respostas, jogar uma moeda 3 vezes. Cada tentativa é um sucesso com probabilidade p, independentemente das outras.

O número de sucessos X segue então uma distribuição binomial:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ: os k sucessos.
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: as n − k falhas.
  • C(n, k): o número de ordens diferentes em que os sucessos podem cair.

Para “no máximo um”, some P(X = 0) e P(X = 1). Para “pelo menos um”, use 1 − P(X = 0).

Autoavaliação Você joga uma moeda justa 3 vezes. Qual é a probabilidade de exatamente 2 caras?
  1. 0,125
  2. 0,25
  3. 0,375
  4. 0,667

Resposta: 0,375. C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375. Esquecer C(3, 2) dá 0,125: é uma única ordem, como CCK, mas KCC e CKC também contam.

4O método passo a passo

  1. Anote o que é um resultado e quantos resultados há no total.
  2. Traduza as palavras: “e” significa multiplicar, “ou” significa somar (menos a interseção), “não” significa 1 − P.
  3. Para “pelo menos um”, calcule primeiro o complemento “nenhum”.
  4. Sem reposição: diminua as contagens após cada retirada. Ou conte com combinações.
  5. Tentativas independentes repetidas com p fixo: use a fórmula binomial.
  6. Verifique que a resposta fica entre 0 e 1.

Um diagrama de árvore ajuda quando há várias etapas: multiplique ao longo de um ramo e some os ramos de que precisa.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Uma sacola tem 4 bolas vermelhas e 6 azuis. Você tira duas bolas sem devolver a primeira. Qual é a probabilidade P de que pelo menos uma delas seja vermelha?

1

Use o complemento

“Pelo menos uma vermelha” tem três casos: vermelha–vermelha, vermelha–azul e azul–vermelha. O oposto, “nenhuma vermelha”, tem só um caso: azul–azul.

P(pelo menos uma vermelha) = 1 − P(ambas azuis)
2

Primeira retirada

Há 6 bolas azuis em 10.

P(primeira azul) = 6/10
3

Segunda retirada

Uma bola azul saiu, então restam 5 bolas azuis em 9.

P(ambas azuis) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

Na árvore, R é uma bola vermelha e B uma azul. O ramo em negrito é azul–azul.

4

Tome o complemento

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0,667
5

Verifique a resposta

Contando com combinações: há C(10, 2) = 45 pares, e C(6, 2) = 15 deles são azul–azul. 15/45 = 1/3, o mesmo que antes.

Os três outros ramos da árvore somam 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3 também.

Resposta

P = 2/3 ≈ 0,667

6Erros comuns

  • Somar probabilidades para “pelo menos um” em vez de usar 1 − P(nenhum).
  • Esquecer de diminuir as contagens ao tirar sem reposição.
  • Esquecer o fator C(n, k) na fórmula binomial.
  • Dividir pelo total errado, por exemplo só pelas outras cores.
  • Dar uma probabilidade acima de 1 ou abaixo de 0. Isso é sempre sinal de erro.
Autoavaliação Você joga um dado justo duas vezes. Qual é a probabilidade de pelo menos um seis?
  1. 1/3 ≈ 0,333
  2. 1/36 ≈ 0,028
  3. 11/36 ≈ 0,306
  4. 25/36 ≈ 0,694

Resposta: 11/36 ≈ 0,306. 1 − P(nenhum seis) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36. Somar 1/6 + 1/6 dá 1/3, o que conta duas vezes o caso de dois seis.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: resultados igualmente prováveis. Uma retirada de uma sacola de bolas coloridas, ou um lançamento de um dado.
  • Médio: contagem e complementos. Comissões com C(n, k), ou duas retiradas sem reposição.
  • Difícil: a distribuição binomial. Exatamente k sucessos, ou “no máximo um” como P(X = 0) + P(X = 1).

Dê a resposta como um decimal entre 0 e 1, arredondado para três ou quatro casas decimais.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
xp(x)1?20,2530,1540,250,15

A tabela dá a distribuição de probabilidade de X, mas falta uma probabilidade. Encontre P(X = 1).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0,25, 0,15, 0,2, 0,15

Calcule P(X = 1)

Mostrar dicas
  1. Todas as probabilidades de uma distribuição somam 1.
  2. Some as probabilidades conhecidas.
  3. P = 1 − 0,75.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.

Soma das probabilidades conhecidas

0,25 + 0,15 + 0,2 + 0,15 = 0,75

Probabilidade que falta

P(X = 1) = 1 − 0,75 = 0,25

Resposta

P(X = 1) = 0,25
Exemplo 2Média
xp(x)10,1520,3530,0540,350,15μ = 2,95

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,05, 0,3, 0,15

Calcule Var(X)

Mostrar dicas
  1. μ = Σx·p(x) = 2,95.
  2. Então E(X²) = Σx²·p(x).
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,95

Média dos quadrados

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,55

Variância

Var(X) = 10,55 − 2,95² = 1,848

Resposta

Var(X) = 1,848
Exemplo 3Difícil
n = 12, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

Um teste tem 12 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,3, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 5?

n = 12p = 0,3k = 5

Calcule P

Mostrar dicas
  1. É uma distribuição binomial: número fixo de provas independentes, mesma probabilidade de sucesso.
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Fórmula binomial

P(X = 5) = 792·0,35·0,77 = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

Resposta

P = 0,1585

Perguntas e respostas

Probabilidades: o que é?

Uma probabilidade é um número entre 0 e 1 que diz quão provável é algo. 0 significa que nunca acontece, 1 significa que sempre acontece.

Quando todos os resultados são igualmente prováveis, conte-os:

Probabilidades: como resolver os exercícios passo a passo?

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.

Probabilidades: quais são os erros mais comuns?
  • Essa é a soma das probabilidades conhecidas. A que falta é 1 menos essa soma.
  • Os valores não são igualmente prováveis: use o fato de que todas as probabilidades somam 1.
  • E(X²) não é a variância: subtraia μ².
Probabilidades: o que se pratica?
  • Fácil: resultados equiprováveis
  • Média: contagem e complementar
  • Difícil: distribuição binomial

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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