Otimização: exercícios com soluções passo a passo

Exercícios grátis de Otimização com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: área ou volume máximo, custo ou material mínimo, lucro e receita.

Exercício gratuitoFácil
rioxxy

Um agricultor tem 240 m de cerca para cercar um terreno retangular ao longo de um rio reto. Não é preciso cerca ao longo do rio. Encontre a maior área A que pode ser cercada.

240 m2x + y = 240
m²
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O que você pratica

  1. Fácilárea ou volume máximo
  2. Médiacusto ou material mínimo
  3. Difícillucro e receita

Fórmulas principais

Método
escreva Q(x) com uma variável, resolva Q′(x) = 0, verifique Q″ ou as extremidades
Máximo
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro fechado
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lucro
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Aprenda Otimização do zero

Antes disso: Derivadas

1O que é otimização

Otimizar significa encontrar o melhor valor: a maior área para um dado comprimento de cerca, o menor gasto de metal para uma lata, ou o maior lucro.

A grandeza que você quer tornar a maior ou a menor possível depende de uma variável, por exemplo a largura x de um terreno.

Imagine o seu gráfico. No topo de uma colina e no fundo de um vale, o gráfico é plano por um instante. Então a inclinação ali é zero.

Essa é a ideia-chave: num máximo ou num mínimo, a derivada é 0. Você encontra o melhor x resolvendo Q′(x) = 0.

Autoavaliação A área A(x) de um terreno tem seu maior valor em x = 12. Quanto vale A′(12)?
  1. 0
  2. O mesmo que A(12)
  3. Um número negativo
  4. Um número positivo

Resposta: 0. No topo do gráfico a tangente é horizontal, então a inclinação é 0. Uma inclinação positiva significaria que a área ainda está aumentando.

2O objetivo e a restrição

Todo problema de otimização tem duas partes. Nomeie-as antes de calcular qualquer coisa.

  • O objetivo: a grandeza a maximizar ou minimizar, como uma área A ou um custo C.
  • A restrição: uma condição fixa, como o comprimento total da cerca ou o volume que uma lata deve conter.

O objetivo costuma ter duas variáveis, por exemplo A = x · y. Isso ainda não dá para derivar.

Use a restrição para escrever y em função de x. Assim o objetivo depende só de x.

Exemplo: um retângulo de perímetro 20 m tem 2x + 2y = 20, então y = 10 − x e A(x) = x(10 − x) = 10x − x².

Faça primeiro um esboço e escreva nele todos os comprimentos. A maioria dos erros acontece na restrição.

Autoavaliação Um terreno à margem de um rio é cercado em três lados com 40 m: dois lados de comprimento x e um lado y paralelo ao rio. Qual é a restrição?
  1. 2x + 2y = 40
  2. 2x + y = 40
  3. x + y = 40
  4. x · y = 40

Resposta: 2x + y = 40. Há três cercas: x, x e y. O lado do rio não precisa de cerca. 2x + 2y seria um retângulo completo com quatro lados cercados.

3Problemas de custo e lucro

Em problemas de negócios, o objetivo é o lucro: receita menos custo.

P(q) = R(q) − C(q), R = p · q

Aqui q é o número de unidades vendidas e p o preço por unidade. Se o preço depende de q, coloque primeiro essa fórmula em R.

Exemplo: o preço é p = 60 − q e o custo é C = 100 + 30q.

R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15

O melhor preço é então p = 60 − 15 = € 45. Leia a questão com atenção: ela pode pedir q, p ou o próprio lucro P.

Autoavaliação Um produto é vendido por € 40 a unidade. O custo de q unidades é C = 100 + 10q + 0,5q² euros. Qual produção q dá o maior lucro?
  1. 15
  2. 30
  3. 40
  4. 60

Resposta: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0,5q², então P′ = 30 − q = 0 e q = 30. Esquecer o 2 ao derivar 0,5q² dá 60.

4O método passo a passo

  1. Faça um esboço e nomeie as variáveis.
  2. Escreva o objetivo Q (área, custo, lucro) e a restrição.
  3. Use a restrição para escrever Q como função de uma variável, Q(x).
  4. Derive e resolva Q′(x) = 0.
  5. Verifique se é o tipo certo de ponto: Q″ < 0 para um máximo, Q″ > 0 para um mínimo.
  6. Responda à pergunta que foi feita: x, o outro lado, ou o próprio melhor valor de Q, com unidades.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Um agricultor tem 60 m de cerca para um terreno retangular à margem de um rio reto. Não é preciso cerca ao longo do rio. Encontre o lado y paralelo ao rio e a maior área A.

1

Esboço e restrição

xxyA

O rio está em cima, então só três lados precisam de cerca: dois lados x e um lado y.

2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2

Área em uma variável

A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3

Igualar a derivada a zero

A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4

É um máximo?

A″(x) = −4 < 0

A segunda derivada é negativa, então x = 15 m dá a maior área.

xA(15, 450)1530
5

Outro lado e área

y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6

Verifique a resposta

Teste um valor de cada lado. x = 14 dá 14 · 32 = 448 m², e x = 16 dá 16 · 28 = 448 m². Ambos são menores que 450 m².

Resposta

y = 30 m e a maior área é A = 450 m².

6Erros comuns

  • Dar a resposta da grandeza errada: a questão pede y, e você dá x.
  • Derivar um objetivo que ainda tem duas variáveis. Use primeiro a restrição.
  • Escrever a restrição errada, por exemplo cercar também o lado do rio.
  • Não verificar se o ponto é um máximo ou um mínimo.
  • Esquecer as unidades, ou dar uma área em m em vez de m².
Autoavaliação Com 40 m de cerca ao longo de um rio (2x + y = 40), a melhor largura é x = 10 m. A questão pede o lado y paralelo ao rio. O que você responde?
  1. 10 m
  2. 20 m
  3. 200 m²
  4. 40 m

Resposta: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. Responder 10 m dá x em vez de y, e 200 m² é a área, não um lado.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: área ou volume máximo, como um terreno à margem de um rio ou um cercado dividido por uma cerca extra.
  • Médio: custo ou material mínimo, como uma lata fechada (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) ou uma cerca com dois preços por metro.
  • Difícil: lucro e receita. Monte P = R − C, resolva P′(q) = 0 e encontre o preço ou o lucro máximo.

Uma verificação rápida: coloque em Q um valor um pouco acima e um pouco abaixo da sua resposta. Os dois devem ser piores.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
x18 cm18 cmx

Uma caixa aberta é feita a partir de uma folha quadrada de papelão de 18 cm × 18 cm, recortando quadrados iguais de lado x nos quatro cantos e dobrando as laterais para cima. Encontre o maior volume possível V.

18 cm × 18 cm

Calcule V (cm³)

Mostrar dicas
  1. A base mede (18 − 2x) por (18 − 2x) e a altura é x.
  2. V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
  3. V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. Só uma raiz com 0 < x < 9 faz sentido.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Volume como função de x

V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x

Igualar a derivada a zero

A raiz maior dá um lado da base ≤ 0, então está fora do intervalo permitido.

V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 ou x = 9
x = 3 cm

Volume

V = 3·12·12 = 432 cm³

Resposta

V = 432 cm³
Exemplo 2Média
rh

Uma lata cilíndrica fechada (com tampa e fundo) deve conter 400 cm³. O metal usado é proporcional à área total da superfície. Encontre a menor área de superfície possível A.

V = 400 cm³

Calcule A (cm²)

Mostrar dicas
  1. Use o volume para eliminar h: πr²h = 400, então h = 400/(πr²).
  2. A(r) = 2πr² + 2·400/r.
  3. A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Área como função de r

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

Igualar a derivada a zero

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, então este é um mínimo.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

Altura e área

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

Resposta

A = 300,5 cm²

A lata fechada mais econômica é tão alta quanto larga: h = 2r.

Exemplo 3Difícil
p (€)R(p)10agora

Um teatro vende 580 ingressos por sessão a €10 cada. Uma pesquisa de mercado mostra que cada aumento de €1 no preço do ingresso significa 20 ingressos a menos vendidos (e cada redução de €1, 20 a mais). Encontre a receita máxima R por sessão.

580 × €1020 / €1

Calcule R (€)

Mostrar dicas
  1. Ingressos vendidos ao preço p: n(p) = 580 − 20·(p − 10) = 780 − 20p.
  2. R(p) = p·(780 − 20p) = 780p − 20p².
  3. R′(p) = 780 − 40p = 0.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Receita em função do preço

n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²

Igualar a derivada a zero

R″(p) = −40 < 0, então este é um máximo.

p = 780/40 = €19,5

Receita máxima

n = 780 − 20·19,5 = 390
R = 19,5·390 = €7605

Resposta

R = €7605

Perguntas e respostas

Otimização: o que é?

Otimizar significa encontrar o melhor valor: a maior área para um dado comprimento de cerca, o menor gasto de metal para uma lata, ou o maior lucro.

A grandeza que você quer tornar a maior ou a menor possível depende de uma variável, por exemplo a largura x de um terreno.

Otimização: como resolver os exercícios passo a passo?

Otimização: escreva a grandeza a otimizar como função de uma única variável, usando a restrição para eliminar a outra. Iguale a derivada a zero e resolva. Verifique se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo (segunda derivada ou mudança de sinal da primeira derivada) e se está dentro do intervalo permitido; uma extremidade como um lado de comprimento zero não é a resposta.

Otimização: quais são os erros mais comuns?
  • Cada lado da base perde um quadrado nas duas pontas, então os lados da base são a − 2x e b − 2x, e não a − x e b − x.
  • A lata é fechada: conte tanto a tampa quanto o fundo, A = 2πr² + 2πrh.
  • Essa é a receita no preço atual. Encontre primeiro o preço em que R′(p) = 0.
Otimização: o que se pratica?
  • Fácil: área ou volume máximo
  • Média: custo ou material mínimo
  • Difícil: lucro e receita

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
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  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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