Limites: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: cálculo de limites · regra de L’Hôpital · indeterminações

Exercícios grátis de Limites com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: substituição direta e fatoração, limites no infinito, Regra de L'Hôpital.

Exercício gratuitoFácil
xy9x = 9

Encontre o limite L = limx→9 (√x − 3)/(x − 9).

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9
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O que você pratica

  1. Fácilsubstituição direta e fatoração
  2. Médialimites no infinito
  3. DifícilRegra de L'Hôpital

Fórmulas principais

Substituição direta
tente x = a primeiro; 0/0 significa simplificar
Fatorar e cancelar
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limites no infinito
divida pela maior potência de x; graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes
Limite fundamental
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Regra de L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Aprenda Limites do zero

1O que é um limite

Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima quando x se aproxima de certo número. Não importa o que acontece exatamente nesse número.

Tome f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Em x = 1 você obtém 0/0, que não tem valor. Mas você pode tentar números próximos de 1.

  • x = 0,9 dá f = 1,9.
  • x = 0,99 dá f = 1,99.
  • x = 1,01 dá f = 2,01.

Os valores se aproximam cada vez mais de 2. Escrevemos:

limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
xy12(1, 2)

O gráfico é uma reta com um ponto faltando, um buraco em (1, 2). O limite é a altura do buraco.

Autoavaliação Uma função g dá g(2,9) = 5,9, g(2,99) = 5,99 e g(3,01) = 6,01. Ela não é definida em x = 3. Qual é o limite quando x → 3?
  1. 3
  2. 5,99
  3. 6
  4. Não existe, porque g(3) não é definida

Resposta: 6. Os valores se aproximam de 6 dos dois lados, então o limite é 6. Um limite só olha para valores próximos de x = 3, nunca para o próprio x = 3.

2Substituição, 0/0 e fatoração

Tente sempre primeiro a substituição direta: coloque o número. Se você obtiver um número comum, esse é o limite.

limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

Se obtiver 0/0, você não terminou. 0/0 é chamado de forma indeterminada: é um sinal para simplificar, não uma resposta.

Em geral, o numerador e o denominador compartilham um fator que é zero nesse ponto. Fatore os dois, cancele o fator comum e substitua de novo.

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

Então o limite quando x → 3 é 3 + 3 = 6. Padrões de fatoração úteis:

  • x² − a² = (x − a)(x + a)
  • x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
  • x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
  • Um polinômio de segundo grau como x² − x − 30 se fatora como (x − 6)(x + 5): encontre dois números cujo produto é −30 e cuja soma é −1.

Com uma raiz quadrada, multiplique numerador e denominador pelo conjugado: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.

Autoavaliação Quanto vale limx→2 (x² − 4)/(x − 2)?
  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. Não existe, porque se obtém 0/0

Resposta: 4. A substituição dá 0/0, então fatore: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, que vale 4 em x = 2. Parar em 0/0 é o erro por trás de “não existe”.

3Limites no infinito e a regra de L’Hôpital

x → ∞ significa que x cresce sem fim. Para uma fração de polinômios, só as maiores potências importam quando x é enorme.

Divida cada termo pela maior potência de x no denominador. Termos como 4/x e 7/x² tendem a 0.

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
  • Mesma maior potência em cima e embaixo: o limite é a razão dos coeficientes dominantes.
  • Potência maior embaixo: o limite é 0.
  • Potência maior em cima: a fração cresce sem fim, então não há limite finito.

Para √(x² + 6x) − x, multiplique pelo conjugado. Você obtém 6x/(√(x² + 6x) + x), que tende a 6/(1 + 1) = 3.

Regra de L’Hôpital: se a substituição der 0/0 ou ∞/∞, você pode trocar o numerador e o denominador por suas derivadas, cada um separadamente.

limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1

Se obtiver 0/0 de novo, aplique a regra mais uma vez. Limites trigonométricos sempre usam x em radianos.

Autoavaliação Quanto vale limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x)?
  1. 0
  2. 2
  3. ½
  4. ∞

Resposta: 2. As maiores potências são iguais (x²), então o limite é a razão dos coeficientes dominantes: 4/2 = 2. ½ vem de dividir ao contrário.

4O método passo a passo

  1. Substitua o número. Um número comum é a resposta.
  2. Se obtiver 0/0, fatore o numerador e o denominador, ou multiplique pelo conjugado se houver raiz.
  3. Cancele o fator comum e substitua de novo.
  4. Se x → ∞, divida cada termo pela maior potência de x e deixe termos como a/x tenderem a 0.
  5. Se a fatoração não funcionar (eˣ, sin, cos, ln), use a regra de L’Hôpital na forma 0/0 ou ∞/∞.
  6. Confira com um número muito próximo do ponto, por exemplo x = 1,001.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Encontre L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2).

1

Tente a substituição

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

Esta é a forma indeterminada 0/0, então é preciso simplificar primeiro.

2

Fatore o numerador

8 = 2³, então o numerador é uma soma de cubos com a = 2.

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3

Cancele o fator comum

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

Isso é permitido porque x apenas se aproxima de −2, então x + 2 nunca é exatamente 0.

4

Substitua de novo

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5

Verifique a resposta

Teste x = −1,99: (−7,880599 + 8)/0,01 = 11,94, que está próximo de 12.

xy−212

O gráfico é a parábola x² − 2x + 4 com um buraco em (−2, 12).

Resposta

L = 12

6Erros comuns

  • Escrever 0/0 como resposta, ou dizer que o limite não existe. 0/0 significa: simplifique primeiro.
  • Usar a regra de L’Hôpital quando a substituição não dá 0/0 nem ∞/∞.
  • Usar a regra do quociente na regra de L’Hôpital. Derive o numerador e o denominador separadamente.
  • No infinito, comparar os primeiros termos escritos em vez das maiores potências.
  • Usar graus em vez de radianos em limites com sin ou cos.
Autoavaliação Quanto vale limx→1 (x² + 1)/(x + 1)?
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. Não existe

Resposta: 1. A substituição dá 2/2 = 1, um número comum, então esse é o limite. Usar L’Hôpital aqui (2x/1 = 2) está errado, porque a forma não era 0/0.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: substituição direta e fatoração. A substituição dá 0/0, então você fatora e cancela, como no exemplo.
  • Médio: limites no infinito. Divida pela maior potência, ou use o conjugado para uma raiz como √(x² + 4x) − x.
  • Difícil: a regra de L’Hôpital, por exemplo (eˣ − 1 − x)/x² ou (1 − cos 3x)/x² quando x → 0. Pode ser preciso aplicar a regra duas vezes.

Uma verificação rápida: coloque um número muito próximo do ponto numa calculadora. O resultado deve ficar próximo da sua resposta.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
xyx = 1

Encontre o limite L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Calcule L

Mostrar dicas
  1. A substituição dá 0/0. Fatore o numerador.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Tentar a substituição direta

numerador → 0 e denominador → 0, então a forma é 0/0.

Fatorar e cancelar

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Substituir

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Resposta

L = 4

Isso é a derivada de xⁿ em x = a: n·aⁿ⁻¹.

Exemplo 2Média
xyy = L

Encontre o limite L = limx→∞ (1 + 1/x)x. Dê um valor decimal.

f(x) = (1 + 1/x)xx → ∞

Calcule L

Mostrar dicas
  1. A forma é 1^∞. Escreva L = e^(ln L) e encontre ln L.
  2. ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x).
  3. Para u pequeno, ln(1 + u) ≈ u. Aqui u = 1/x.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Tomar o logaritmo

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x)

Calcular

ln(1 + u)/u → 1 quando u → 0, então x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Desfazer o logaritmo

L = e1 = 2,718

Resposta

L = 2,718
Exemplo 3Difícil
xyx = 0

Encontre o limite L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(3x), com x em radianos.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

Calcule L

Mostrar dicas
  1. Em x = 0: ln 1 = 0 e sin 0 = 0, então a forma é 0/0.
  2. (ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
  3. Substitua x = 0 em f′/g′.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Regra de L'Hôpital

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

Substituir x = 0

L = 2/3 = 0,6667

Resposta

L = 0,6667

Perguntas e respostas

Limites: o que é?

Um limite descreve o valor do qual uma função se aproxima quando x se aproxima de certo número. Não importa o que acontece exatamente nesse número.

Tome f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Em x = 1 você obtém 0/0, que não tem valor. Mas você pode tentar números próximos de 1.

Limites: como resolver os exercícios passo a passo?

Limites: tente primeiro a substituição direta. Se ela der 0/0, simplifique antes: fatore e cancele o fator comum, ou multiplique pelo conjugado. Quando x → ∞, divida o numerador e o denominador pela maior potência de x. Regra de L'Hôpital: se f/g dá 0/0 ou ∞/∞, então lim f/g = lim f′/g′, derivando o numerador e o denominador separadamente (e não com a regra do quociente).

Limites: quais são os erros mais comuns?
  • Mantenha todos os termos do segundo fator: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹), e em x = a todos os n termos são iguais.
  • A forma 1^∞ é indeterminada, e não 1. Tome primeiro o logaritmo natural.
  • Mantenha a derivada do numerador em cima: lim f/g = lim f′/g′.
Limites: o que se pratica?
  • Fácil: substituição direta e fatoração
  • Média: limites no infinito
  • Difícil: Regra de L'Hôpital

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

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  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
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