Distribuição normal: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: distribuição gaussiana · normal padrão · curva de Gauss

Exercícios grátis de Distribuição normal com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: área em uma cauda, área entre dois valores, percentis.

Exercício gratuitoFácil
μ = 6567,5P = ?

As notas de prova seguem uma distribuição normal com média 65 pontos e desvio-padrão 10 pontos. Que fração está acima de 67,5 pontos? Calcule P(X > x) em forma decimal.

μ = 65σ = 10x = 67,5
Próximo exercício →
Pratique Distribuição normal de graçaPratique Distribuição normal agora5 exercícios grátis todos os dias. Sem cartão.

O que você pratica

  1. Fácilárea em uma cauda
  2. Médiaárea entre dois valores
  3. Difícilpercentis

Como resolver exercícios de Distribuição normal

  1. Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
  2. Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
  3. Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
  4. Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Erros comuns

  • Ler a tabela para a cauda errada.
  • Esquecer de dividir por σ.
  • Usar o sinal de z invertido para percentis abaixo de 50%.

Fórmulas principais

Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Abaixo de x
P(X < x) = Φ(z)
Acima de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentil
x = μ + z·σ

Aprenda Distribuição normal do zero

Antes disso: Estatística descritiva

1A curva em sino

Muitas grandezas, como alturas, pontuações de QI ou o peso de pacotes de uma máquina, seguem uma distribuição normal. A maioria dos valores fica perto do meio, e os valores distantes são raros.

O gráfico é um sino simétrico. Ele tem dois números: a média μ, onde fica o topo, e o desvio padrão σ, que define a largura.

7085100μ115130

A ideia-chave: uma probabilidade é uma área sob a curva. A área total é 1. A metade esquerda sombreada tem área 0,5, então metade de todos os valores fica abaixo da média.

Cerca de 68% dos valores ficam a até um σ da média, e cerca de 95% a até dois σ.

Autoavaliação Pacotes têm peso com distribuição normal de média 500 g. Que fração dos pacotes pesa menos de 500 g?
  1. 0,5
  2. 0,68
  3. 0,95
  4. Depende de σ

Resposta: 0,5. A curva é simétrica em torno da média, então exatamente metade da área fica abaixo de μ, qualquer que seja σ. 0,68 é a área a até um σ dos dois lados.

2Escores z e a tabela

Toda distribuição normal vira a mesma curva normal padrão (média 0, σ = 1) quando você converte um valor x em um escore z:

z = (x − μ) / σ

A tabela dá Φ(z): a área à esquerda de z. Por exemplo, Φ(1,2) = 0,8849, então 88,49% dos valores ficam abaixo de z = 1,2.

  • Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z).
  • Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z), porque a área total é 1.
  • Para um z negativo: Φ(−z) = 1 − Φ(z), por simetria. Assim, Φ(−1,2) = 0,1151.

Valores que você vai encontrar com frequência: Φ(1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332, Φ(2) = 0,9772.

Autoavaliação Φ(1,2) = 0,8849. Quanto vale P(Z > 1,2)?
  1. 0,1151
  2. 0,3849
  3. 0,8849
  4. 1,2

Resposta: 0,1151. A tabela dá a área à esquerda. A área à direita é 1 − 0,8849 = 0,1151. Usar 0,8849 diretamente lê a cauda errada.

3Entre dois valores e percentis

Para a área entre dois valores, subtraia as duas áreas à esquerda: tudo o que está abaixo do valor superior, menos tudo o que está abaixo do valor inferior.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

Um percentil funciona ao contrário. O percentil 90 é o valor que tem 90% da área à sua esquerda.

  • Encontre o z com Φ(z) igual à área. Para 90%, z = 1,2816. Para 80%, z = 0,8416.
  • Converta de volta para x: x = μ + z · σ.

Para um percentil abaixo de 50%, z é negativo. O percentil 10 tem z = −1,2816.

Autoavaliação Os escores de QI são normais com μ = 100 e σ = 15. O z do percentil 80 é 0,8416. Qual é o percentil 80?
  1. 100,8
  2. 112,6
  3. 115
  4. 87,4

Resposta: 112,6. x = 100 + 0,8416 · 15 = 112,6. Usar o sinal de menos dá 87,4, o percentil 20; 100,8 esquece de multiplicar por σ.

4O método passo a passo

  1. Esboce a curva em sino, marque μ e o(s) valor(es) e sombreie a área pedida.
  2. Converta cada valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
  3. Consulte Φ(z), a área à esquerda.
  4. Abaixo: Φ(z). Acima: 1 − Φ(z). Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. Para um percentil, vá ao contrário: área → z → x = μ + zσ.
  6. Compare com o esboço: uma área sombreada menor que a metade deve dar um número abaixo de 0,5.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Os escores de QI têm distribuição normal com média 100 e desvio padrão 15. Que fração P fica entre 91 e 121?

1

Esboce a área

91x₁100121x₂

A área sombreada cobre o meio e mais do lado direito. Espere um número um pouco acima de 0,5.

2

Escore z inferior

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0,6
3

Escore z superior

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1,4
4

Procure as duas áreas

Φ(1,4) = 0,9192
Φ(−0,6) = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5

Subtraia

P = 0,9192 − 0,2743 = 0,6449

Isso é um pouco acima de 0,5, como o esboço previu.

Resposta

P ≈ 0,645: cerca de 64,5% dos escores ficam entre 91 e 121.

6Erros comuns

  • Ler a cauda errada: usar Φ(z) quando a questão pede a área acima de x.
  • Esquecer de dividir por σ no escore z.
  • Somar as duas áreas à esquerda para um intervalo em vez de subtraí-las.
  • Usar o sinal errado de z para um percentil abaixo de 50%.
  • Confundir σ com a variância σ². Divida por σ, o desvio padrão.
Autoavaliação As notas de uma prova são normais com μ = 65 e σ = 10. Φ(−1,5) = 0,0668. Que fração tira mais de 50?
  1. 0,0668
  2. 0,4332
  3. 0,5668
  4. 0,9332

Resposta: 0,9332. z = (50 − 65)/10 = −1,5, e P(X > 50) = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332. 0,0668 é a área abaixo de 50: a cauda errada. A maioria dos alunos tira mais de 50, então a resposta deve ser grande.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: a área em uma cauda. Encontre P(X < x) ou P(X > x) com um escore z.
  • Médio: a área entre dois valores, Φ(z₂) − Φ(z₁), como no exemplo.
  • Difícil: percentis. Encontre o valor abaixo do qual ficam 80% ou 90% dos dados.

Esboce sempre primeiro. Um esboço de dez segundos evita a maioria dos erros de cauda.

Aprenda passo a passo no aplicativoAprenda passo a passo no aplicativo

Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
μ = 3236,8P = ?

As durações de entregas seguem uma distribuição normal com média 32 min e desvio-padrão 6 min. Que fração está acima de 36,8 min? Calcule P(X > x) em forma decimal.

μ = 32σ = 6x = 36,8

Calcule P(X > x)

Mostrar dicas
  1. Converta em uma pontuação z: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. A área à direita é 1 − Φ(z).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuação z

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Probabilidades

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Resposta

P = 0,2119

Isso é 21,19%.

Exemplo 2Média
750 g769,7 gX + Y?

X é normal com média 250 g e desvio padrão 4 g; Y é independente e normal com média 500 g e desvio padrão 9 g. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 769,7 g. Arredonde z para duas casas decimais.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g

Calcule P

Mostrar dicas
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9,849 g.
  3. z = (769,7 − 750)/9,849.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição da soma

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Padronizar

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Cauda superior

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Resposta

P = 0,02275
Exemplo 3Difícil
μ = 178x = ?20%

As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Calcule o valor x abaixo do qual estão 20% delas (o percentil 20).

μ = 178σ = 7P = 20%

Calcule x (cm)

Mostrar dicas
  1. Faça o caminho inverso: encontre na tabela o z com Φ(z) = P/100.
  2. z = −0,8416.
  3. Depois x = μ + z·σ.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

z do percentil

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

De volta a x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Resposta

x = 172,11 cm

Perguntas e respostas

Distribuição normal: o que é?

Muitas grandezas, como alturas, pontuações de QI ou o peso de pacotes de uma máquina, seguem uma distribuição normal. A maioria dos valores fica perto do meio, e os valores distantes são raros.

O gráfico é um sino simétrico. Ele tem dois números: a média μ, onde fica o topo, e o desvio padrão σ, que define a largura.

Distribuição normal: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
  2. Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
  3. Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
  4. Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.
Distribuição normal: quais são os erros mais comuns?
  • Ler a tabela para a cauda errada.
  • Esquecer de dividir por σ.
  • Usar o sinal de z invertido para percentis abaixo de 50%.
Distribuição normal: o que se pratica?
  • Fácil: área em uma cauda
  • Média: área entre dois valores
  • Difícil: percentis

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

Temas antes e depois deste

Estude antes

Estatística descritiva

Depois continue com

Intervalos de confiança

Calculadoras

Calculadora de escore z e probabilidade normalCalculadora da distribuição normal

Disciplinas com este tópico

Métodos de Pesquisa e Estatística em PsicologiaIntrodução à EstatísticaMatemática para EngenhariaEstatística 2: Inferência EstatísticaPreparação para o exame FE CivilExercícios para o AP StatisticsPrática de métodos quantitativos e renda fixa do CFA Level I

Mais temas de Matemática e estatística

LimitesDerivadasOtimizaçãoIntegraisSequências e sériesCálculo de várias variáveisEquações diferenciaisNúmeros complexosMétodos numéricosMatrizes e determinantesVetores: produto escalar e vetorialLógica proposicional e demonstraçõesConjuntos, relações e funçõesTeoria dos grafosTeoria dos números e aritmética modularProbabilidadesEstatística descritivaIntervalos de confiançaTestes de hipóteses e intervalos de confiançaRegressão linear e correlaçãoTestes qui-quadrado

Lista de exercícios para imprimir

Lista de exercícios de Distribuição normal com respostas
Pratique Distribuição normal de graçaPratique Distribuição normal agora5 exercícios grátis todos os dias. Sem cartão.