Testes de hipóteses e intervalos de confiança: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: teste de hipóteses · teste t de Student · valor-p

Exercícios grátis de Testes de hipóteses e intervalos de confiança com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: estatística z, estatística t, intervalos de confiança.

Exercício gratuitoFácil
μ₀x̄c = ?α = 0,05

Um fornecedor afirma que a resistência média à ruptura de um cabo é 50 kN; você suspeita que seja maior. O desvio-padrão é conhecido e vale 8 kN. Você vai tomar uma amostra de 25 cabos e testar H₀: μ = 50 kN contra H₁: μ > 50 kN com α = 0,05. Acima de qual média amostral x̄c você rejeitará H₀?

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0,05
kN
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O que você pratica

  1. Fácilestatística z
  2. Médiaestatística t
  3. Difícilintervalos de confiança

Como resolver exercícios de Testes de hipóteses e intervalos de confiança

  1. Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
  2. Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
  3. Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
  4. Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Erros comuns

  • Usar um valor crítico unilateral para um teste bilateral.
  • Dizer que H₀ foi provada verdadeira quando ela não é rejeitada.
  • Esquecer √n no erro-padrão.

Fórmulas principais

Teste z para uma média
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Teste t para uma média
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%
rejeite H0 se |z| > 1,96
Intervalo de confiança
x̄ ± z·σ/√n

Aprenda Testes de hipóteses e intervalos de confiança do zero

Antes disso: Intervalos de confiança

1A ideia de um teste

Uma máquina deve encher garrafas com 500 mL em média. Uma amostra de garrafas tem média de 496 mL. A máquina está errada ou é apenas acaso?

Um teste de hipóteses responde a essa pergunta com números. Você parte de duas afirmações:

  • A hipótese nula H₀: nada mudou. Aqui H₀: μ = 500.
  • A hipótese alternativa H₁: o que você suspeita. Aqui H₁: μ ≠ 500 (bilateral), ou μ < 500 se você só se preocupa com enchimento insuficiente (unilateral).

Você supõe que H₀ é verdadeira e pergunta: quão incomum é esta amostra? Se ela fosse muito incomum, você rejeita H₀.

Autoavaliação Um fornecedor afirma que seus resistores têm 220 Ω em média. Você quer testar essa afirmação. Qual é H₀?
  1. x̄ = 220 Ω
  2. μ > 220 Ω
  3. μ = 220 Ω
  4. μ ≠ 220 Ω

Resposta: μ = 220 Ω. H₀ é a afirmação testada, sobre a média populacional μ. μ ≠ 220 Ω é a alternativa H₁, e uma hipótese nunca é sobre a média amostral x̄, que você já conhece.

2A estatística de teste

A estatística de teste mede a que distância a média amostral está de μ₀, o valor em H₀, em unidades de erro padrão.

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

Use z quando o desvio-padrão populacional σ é conhecido. Quando só o desvio-padrão amostral s é conhecido, use t:

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

Um valor de z ou t perto de 0 significa que a amostra concorda com H₀. Um valor grande, positivo ou negativo, significa que a amostra está longe de μ₀.

Autoavaliação H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16 e x̄ = 118. Qual é z?
  1. 1
  2. −0,25
  3. −1
  4. −4

Resposta: −1. O erro padrão é 8/√16 = 2, então z = (118 − 120)/2 = −1. Dividir por σ = 8 em vez de σ/√n dá −0,25. O sinal é negativo porque x̄ está abaixo de μ₀.

3Decidindo: valores críticos e valores-p

Antes de olhar para os dados, escolha o nível de significância α, geralmente 0,05. É o risco que você aceita de rejeitar uma H₀ verdadeira.

Para um teste z com α = 0,05:

  • Bilateral (H₁: μ ≠ μ₀): rejeite H₀ se |z| > 1,96.
  • Unilateral (H₁: μ > μ₀): rejeite H₀ se z > 1,645. Para μ < μ₀: rejeite se z < −1,645.

O valor-p é a probabilidade de um resultado pelo menos tão extremo se H₀ for verdadeira. Rejeite H₀ quando p < α.

Não rejeitar H₀ não a prova. Significa apenas que os dados não são uma evidência forte o bastante contra ela.

Um teste e um intervalo de confiança concordam: um teste bilateral a 5% rejeita H₀ exatamente quando μ₀ está fora do intervalo de 95% x̄ ± 1,96 · σ/√n.

Autoavaliação Um teste z bilateral com α = 0,05 dá z = 1,8. Qual é a sua conclusão?
  1. H₀ está provada verdadeira
  2. Não rejeitar H₀
  3. Rejeitar H₀
  4. Rejeitar H₁ e aceitar H₀ como provada

Resposta: Não rejeitar H₀. |1,8| é menor que 1,96, então o resultado não é significativo e H₀ não é rejeitada. Isso não prova H₀; a evidência simplesmente não é forte o bastante.

4O método passo a passo

  1. Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
  2. Escolha z (σ conhecido) ou t (só s conhecido, gl = n − 1).
  3. Calcule o erro padrão σ/√n ou s/√n.
  4. Calcule a estatística de teste (x̄ − μ₀) / erro padrão.
  5. Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
  6. Enuncie a conclusão em palavras, nos termos da questão.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Uma máquina deve encher garrafas com 500 mL em média. σ = 12 mL. Uma amostra de 36 garrafas tem média de 496 mL. Teste H₀: μ = 500 contra H₁: μ ≠ 500 com α = 0,05.

1

Hipóteses

H₀: μ = 500 mL. H₁: μ ≠ 500 mL. Este teste é bilateral, então os valores críticos são ±1,96.

2

Erro-padrão

σ é conhecido, então use z.

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3

Estatística de teste

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4

Compare

−1,9601,962,5%2,5%95%z = −2

|−2| = 2 é maior que 1,96, então z está na região de rejeição sombreada.

5

Confira com um intervalo

496 ± 1,96 · 2 = [492,08, 499,92]

O valor 500 está fora do intervalo de 95%, então o intervalo leva à mesma decisão.

Resposta

z = −2. Rejeite H₀ ao nível de 5%: o enchimento médio da máquina é diferente de 500 mL.

6Erros comuns

  • Usar um valor crítico unilateral (1,645) para um teste bilateral, ou o contrário.
  • Dizer que H₀ foi provada verdadeira quando ela não é rejeitada.
  • Esquecer √n no erro-padrão.
  • Escrever x̄ − μ₀ ao contrário, o que inverte o sinal de z.
  • Usar z quando só se conhece o s amostral, numa amostra pequena.
Autoavaliação Um teste unilateral com H₁: μ > μ₀ e α = 0,05 dá z = 1,8. Qual é a sua conclusão?
  1. Não rejeitar H₀, porque 1,8 < 1,96
  2. Não rejeitar H₀, porque 1,8 < 2,576
  3. Rejeitar H₀, porque 1,8 > 1,645
  4. Rejeitar H₀, porque z é positivo

Resposta: Rejeitar H₀, porque 1,8 > 1,645. Um teste unilateral a 5% põe todos os 5% em uma só cauda, então o valor crítico é 1,645. Comparar com 1,96 usa por engano o valor bilateral.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: a estatística z. σ é conhecido; calcule z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).
  • Médio: a estatística t. Só o desvio-padrão amostral s é dado; calcule t = (x̄ − μ₀)/(s/√n).
  • Difícil: intervalos de confiança. Encontre o limite inferior ou superior de x̄ ± z · σ/√n a 95% ou 99%.

Uma verificação rápida: se x̄ está abaixo de μ₀, a estatística de teste deve ser negativa.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
z −1,9601,96

Uma máquina deve encher garrafas com 100 mL em média. Sabe-se que o desvio-padrão é 4 mL. Uma amostra de 81 garrafas tem média 99,6 mL. Calcule a estatística de teste z para H₀: μ = 100.

μ₀ = 100 mLx̄ = 99,6 mLσ = 4 mLn = 81

Calcule z

Mostrar dicas
  1. O erro-padrão da média é o desvio-padrão a dividir por √n.
  2. SE = 4/√81 = 0,4444.
  3. Depois divida a diferença x̄ − μ₀ pelo erro-padrão. Mantenha o sinal.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Estatística de teste

z = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9

Resposta

z = −0,9

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

Exemplo 2Média
t −1,99801,998

Uma amostra de 64 estudantes tem nota média 504,5 e desvio-padrão amostral 15. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 64

Calcule t

Mostrar dicas
  1. O erro-padrão da média é o desvio-padrão a dividir por √n.
  2. SE = 15/√64 = 1,875.
  3. Depois divida a diferença x̄ − μ₀ pelo erro-padrão. Mantenha o sinal.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Estatística de teste

t = (504,5 − 500)/1,875 = 2,4

Resposta

t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

Exemplo 3Difícil
z −2,57602,576

Uma amostra de 64 medições tem média 80. O desvio-padrão da população é 20. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 99 % para a média.

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

Calcule L

Mostrar dicas
  1. Intervalo de confiança: x̄ ± z*·σ/√n.
  2. z* = 2,576 para 99%.
  3. σ/√n = 2,5.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Margem de erro

E = 2,576·20/√64 = 6,44

Limite do intervalo

L = 80 − 6,44 = 73,56

Resposta

L = 73,56

Perguntas e respostas

Testes de hipóteses e intervalos de confiança: o que é?

Uma máquina deve encher garrafas com 500 mL em média. Uma amostra de garrafas tem média de 496 mL. A máquina está errada ou é apenas acaso?

Um teste de hipóteses responde a essa pergunta com números. Você parte de duas afirmações:

Testes de hipóteses e intervalos de confiança: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
  2. Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
  3. Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
  4. Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança: quais são os erros mais comuns?
  • Usar um valor crítico unilateral para um teste bilateral.
  • Dizer que H₀ foi provada verdadeira quando ela não é rejeitada.
  • Esquecer √n no erro-padrão.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança: o que se pratica?
  • Fácil: estatística z
  • Média: estatística t
  • Difícil: intervalos de confiança

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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