Métodos numéricos: exercícios com soluções passo a passo
Exercícios grátis de Métodos numéricos com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: raízes e interpolação, regras do trapézio e de Simpson, Euler, Heun e Runge–Kutta.
Exercício gratuitoFácil
Aplique Newton–Raphson a f(x) = e−x − x com o valor inicial x₀ = 0. Encontre x2.
Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.
Erros comuns
Manter a metade errada do intervalo da bissecção, ou contar os passos errado.
Escrever x − f′/f em vez de x − f/f′ em Newton–Raphson.
Dar peso 1 aos nós interiores na regra do trapézio, ou usar Simpson com um número ímpar de faixas.
Arredondar os iterados cedo demais.
Dar um passo de Euler a menos ou a mais para chegar ao tempo final.
Fórmulas principais
Bissecção
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolação linear
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regra do trapézio
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Muitas equações e integrais não têm fórmula para a resposta: x = cos x, ∫e−x²dx, ou a maioria das equações diferenciais. Os métodos numéricos calculam a resposta passo a passo com a precisão que você precisar.
O método da bissecção encontra uma raiz de f(x) = 0 num intervalo [a, b] em que f muda de sinal. Tome o ponto médio c = (a + b)/2 e mantenha a metade em que o sinal ainda muda.
Exemplo: f(x) = x² − 2 em [1, 2]. c₁ = 1,5 dá f = 0,25 > 0, então mantenha [1; 1,5]. c₂ = 1,25 dá f = −0,4375 < 0, então mantenha [1,25; 1,5]. Depois c₃ = 1,375.
Cada passo divide o intervalo ao meio, então após n passos a sua largura é (b − a)/2ⁿ. A bissecção é lenta, mas sempre funciona quando há uma mudança de sinal.
Autoavaliação A bissecção começa num intervalo de comprimento 1. Qual é a largura do intervalo após 10 passos?
1/100
1/1024
1/10
1/20
Resposta: 1/1024. Cada passo o divide ao meio: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,001. Dividir por 10 ou por 20 trata a divisão ao meio como se fosse aditiva.
2Newton–Raphson
O método de Newton–Raphson segue a reta tangente até o eixo x e usa esse cruzamento como o próximo palpite:
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Para f(x) = x² − 2 com f′(x) = 2x e x₀ = 2: x₁ = 2 − 2/4 = 1,5, x₂ = 1,5 − 0,25/3 = 1,416667, x₃ = 1,414216. A raiz é √2 = 1,414214.
Perto da raiz, Newton aproximadamente dobra o número de algarismos corretos a cada passo. Ele pode falhar quando f′(xₙ) está próximo de 0, ou quando o ponto inicial está longe da raiz.
Mantenha pelo menos seis algarismos em cada iterado; arredondar cedo impede que o método melhore.
Autoavaliação Um passo de Newton para f(x) = x² − 5 a partir de x₀ = 2 dá…
1,75
2,25
2,2
2,5
Resposta: 2,25. f(2) = −1 e f′(2) = 4, então x₁ = 2 − (−1)/4 = 2,25. Somar −1/4 em vez de subtraí-lo dá 1,75.
3Interpolação linear
As tabelas dão valores apenas em certos pontos. A interpolação linear traça uma reta entre os dois pontos vizinhos da tabela:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Exemplo: a tabela dá f(1) = 2,0 e f(2) = 2,6. Em x = 1,4 a fração é 0,4, então f(1,4) ≈ 2,0 + 0,6·0,4 = 2,24.
A interpolação inversa funciona do mesmo modo no sentido contrário: para encontrar onde y = 2,3, a fração é (2,3 − 2,0)/0,6 = 0,5, então x ≈ 1,5.
4Regra do trapézio e regra de Simpson
Para integrar f de a até b, divida o intervalo em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀, x₁, …, xₙ.
A regra do trapézio substitui a curva em cada faixa por uma reta. Cada nó interior pertence a duas faixas, então conta duas vezes:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
A regra de Simpson ajusta parábolas por três nós de cada vez. Ela exige n par:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
Para ∫01 x² dx = 1/3 com n = 2 (h = 0,5): T = 0,25·(0 + 0,5 + 1) = 0,375, enquanto S = (0,5/3)·(0 + 1 + 1) = 0,3333, exato.
O erro do trapézio diminui como h² e o de Simpson como h⁴: reduzir h à metade torna Simpson cerca de 16 vezes mais preciso.
Autoavaliação Que pesos a regra do trapézio dá aos nós x₀, x₁, x₂, x₃?
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
Resposta: 1, 2, 2, 1. Os dois pontos das extremidades pertencem a uma faixa e os pontos interiores a duas, então 1, 2, 2, 1 com o fator h/2. Os 4 pertencem à regra de Simpson.
5Euler e Heun para equações diferenciais
Para y′ = f(t, y) com y(t₀) = y₀, avance no tempo com um passo h. O método de Euler usa a inclinação no início de cada passo:
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
O método de Heun (Euler melhorado) prevê com Euler e depois faz a média das inclinações nas duas extremidades: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
O erro de Euler é proporcional a h, o de Heun a h². O método clássico de Runge–Kutta (RK4) usa quatro inclinações e é preciso até h⁴.
Exemplo resolvido
Resolva y′ = y, y(0) = 1 com o método de Euler e h = 0,1 até t = 0,3, e compare com a solução exata eᵗ.
1
Passo 1
y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1
2
Passo 2
y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21
3
Passo 3
y₃ = 1,21 + 0,1·1,21 = 1,331
4
Compare
O valor exato é e0,3 = 1,349859, então o erro global é 0,0189. Um passo de Heun a partir de y₀ daria 1 + 0,05·(1 + 1,1) = 1,105 contra e0,1 = 1,105171.
Resposta
y(0,3) ≈ 1,331 com Euler; o erro 0,019 diminui aproximadamente em proporção a h.
6Erros comuns e questões de prova
Contar o primeiro ponto médio da bissecção como passo 0, ou manter a metade errada do intervalo.
Escrever x − f′/f em vez de x − f/f′ no método de Newton.
Esquecer o fator 2 nos nós interiores, ou usar h em vez de h/2 na regra do trapézio.
Usar a regra de Simpson com um número ímpar de faixas.
No método de Euler, usar a inclinação no fim do passo, ou dar um passo a menos.
Fácil: bissecção, iterações de Newton e interpolação numa tabela. Médio: as regras do trapézio e de Simpson, seu erro e o número de faixas necessário. Difícil: passos de Euler, Heun e Runge–Kutta para equações diferenciais.
Autoavaliação y′ = 2y com y(0) = 1. O que dá um passo de Euler com h = 0,2?
1,2
1,49
1,4
2,4
Resposta: 1,4. y₁ = 1 + 0,2·(2·1) = 1,4. Esquecer o fator 2 na inclinação dá 1,2; 1,49 é o valor exato e0,4.
O método da bissecção começa num intervalo de comprimento 4. Cada passo divide o intervalo ao meio. Quantos passos n são necessários, no mínimo, para que o intervalo fique menor que 0,0001?
b − a = 4ε = 0,0001
Calcule n
Mostrar dicas
Após n passos o intervalo tem comprimento (b − a)/2ⁿ.
Resolva 4/2ⁿ < 0,0001, portanto 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Raízes e interpolação: a bissecção mantém um intervalo [a, b] em que f muda de sinal; a cada passo toma o ponto médio c = (a + b)/2 e mantém a metade em que o sinal ainda muda, de modo que após n passos o intervalo tem largura (b − a)/2ⁿ. O método de Newton–Raphson segue a reta tangente até o eixo: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); perto de uma raiz simples ele aproximadamente dobra o número de dígitos corretos a cada passo. Interpolação linear entre dois pontos de uma tabela: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
Condição
4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000
Logaritmo
n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16
Verificação
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
Resposta
n = 16
Exemplo 2Média
Aproxime ∫01,5 √(1 + x³) dx com a regra do trapézio usando n = 3 faixas. Dê T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
Calcule T
Mostrar dicas
h = (1,5 − 0)/3 = 0,5; os nós são 0, 0,5, 1, 1,5.
Pesos: 1, 2, 2, …, 2, 1; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ.
A soma ponderada é Σ wᵢfᵢ = 8,041398.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo
Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.
Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.
Muitas equações e integrais não têm fórmula para a resposta: x = cos x, ∫e−x²dx, ou a maioria das equações diferenciais. Os métodos numéricos calculam a resposta passo a passo com a precisão que você precisar.
O método da bissecção encontra uma raiz de f(x) = 0 num intervalo [a, b] em que f muda de sinal. Tome o ponto médio c = (a + b)/2 e mantenha a metade em que o sinal ainda muda.
Métodos numéricos: como resolver os exercícios passo a passo?
Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.
Métodos numéricos: quais são os erros mais comuns?
Manter a metade errada do intervalo da bissecção, ou contar os passos errado.
Escrever x − f′/f em vez de x − f/f′ em Newton–Raphson.
Dar peso 1 aos nós interiores na regra do trapézio, ou usar Simpson com um número ímpar de faixas.
Arredondar os iterados cedo demais.
Dar um passo de Euler a menos ou a mais para chegar ao tempo final.
Métodos numéricos: o que se pratica?
Fácil: raízes e interpolação
Média: regras do trapézio e de Simpson
Difícil: Euler, Heun e Runge–Kutta
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Como a prática funciona
Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.