Regressão linear e correlação: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: regressão linear simples · coeficiente de correlação · mínimos quadrados

Exercícios grátis de Regressão linear e correlação com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: inclinação e intercepto, coeficiente de correlação, previsão.

Exercício gratuitoFácil
xy242352445555660760xy2465060

A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Encontre o intercepto a.

n = 6
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O que você pratica

  1. Fácilinclinação e intercepto
  2. Médiacoeficiente de correlação
  3. Difícilprevisão

Fórmulas principais

Somas de quadrados
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação
b = Sxy/Sxx
Intercepto
a = ȳ − b·x̄
Correlação
r = Sxy/√(SxxSyy)
Resíduo
e = y − ŷ

Aprenda Regressão linear e correlação do zero

Antes disso: Estatística descritiva

1O que é a regressão

Você mede duas grandezas para cada caso, por exemplo x = horas estudadas e y = nota da prova. Cada par é um ponto em um diagrama de dispersão.

xy123456246810

Se os pontos ficam mais ou menos ao longo de uma reta, você pode descrevê-los com uma reta e usá-la para prever y a partir de x. Isso é a regressão linear.

ŷ = a + b · x
  • ŷ (“y chapéu”) é o valor previsto de y.
  • b é o coeficiente angular: quanto ŷ muda quando x aumenta de 1.
  • a é o intercepto: o valor de ŷ em x = 0.
Autoavaliação Uma reta de regressão é ŷ = 40 + 5x, com x em horas estudadas e ŷ a nota prevista. O que significa o 5?
  1. A nota é 5 vezes as horas
  2. A reta passa por (5, 40)
  3. Cada hora extra acrescenta cerca de 5 pontos
  4. Um aluno que não estuda tira 5

Resposta: Cada hora extra acrescenta cerca de 5 pontos. O coeficiente angular b é a variação de ŷ por unidade de x. A nota prevista em x = 0 é o intercepto a = 40, não 5.

2A reta de mínimos quadrados

Nenhuma reta passa por todos os pontos. A distância vertical de um ponto à reta é o seu resíduo, e = y − ŷ.

A reta de mínimos quadrados é a reta com a menor soma possível dos quadrados dos resíduos. Seu coeficiente angular e seu intercepto resultam de somas de desvios em relação às médias:

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

A reta sempre passa pelo ponto das médias (x̄, ȳ). Por isso a = ȳ − b · x̄.

Se só as somas são dadas, use os atalhos Sxx = Σx² − (Σx)²/n e Sxy = Σxy − ΣxΣy/n.

Autoavaliação Para um conjunto de dados, x̄ = 4, ȳ = 10 e b = 2. Qual é o intercepto a?
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

Resposta: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2. Somar em vez de subtrair dá 18, e 10 é o próprio ȳ, o que esquece o coeficiente angular.

3O coeficiente de correlação

O coeficiente de correlação de Pearson r mede o quão perto os pontos ficam de uma reta. Ele está sempre entre −1 e 1.

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r perto de 1: uma forte tendência de alta.
  • r perto de −1: uma forte tendência de queda, como o preço de um carro em relação à sua idade.
  • r perto de 0: nenhuma relação em linha reta.

r tem o mesmo sinal que o coeficiente angular b. Seu quadrado r² é a fração da variação de y que a reta explica.

Uma correlação forte não prova que x causa y. Ambos podem depender de uma terceira grandeza.

Autoavaliação Para a idade x e o preço y de um carro, r = −0,95. O que isso diz?
  1. Carros mais velhos custam mais
  2. O cálculo está errado, porque r é negativo
  3. Uma forte relação linear decrescente
  4. Uma relação fraca

Resposta: Uma forte relação linear decrescente. r perto de −1 significa que os pontos ficam perto de uma reta decrescente: o preço cai quando a idade sobe. Um r negativo é perfeitamente válido; só valores fora de −1 a 1 são impossíveis.

4O método passo a passo

  1. Calcule as médias x̄ e ȳ.
  2. Monte uma tabela com as colunas x − x̄, y − ȳ, seu produto e (x − x̄)². Acrescente (y − ȳ)² se r for pedido.
  3. Some as colunas para obter Sxy, Sxx e Syy.
  4. Coeficiente angular b = Sxy/Sxx, depois intercepto a = ȳ − b · x̄.
  5. Correlação r = Sxy/√(SxxSyy).
  6. Previsão: coloque x em ŷ = a + bx. Resíduo: e = y − ŷ.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Cinco pares são medidos: x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 3, 5, 6, 8, 8. Encontre a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x e preveja ŷ para x = 6.

1

As médias

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

Desvios

x − x̄: −2, −1, 0, 1, 2.

y − ȳ: −3, −1, 0, 2, 2.

3

As somas

Multiplique os pares: 6, 1, 0, 2, 4. Eleve ao quadrado os desvios de x: 4, 1, 0, 1, 4.

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

Coeficiente angular e intercepto

b = 13 / 10 = 1,3
a = 6 − 1,3 · 3 = 6 − 3,9 = 2,1
xy123456246810ŷ = 2,1 + 1,3x

As linhas tracejadas são os resíduos. Eles são pequenos, então a reta se ajusta bem.

5

Preveja

ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 2,1 + 7,8 = 9,9

Confira: a reta passa pelo ponto das médias, 2,1 + 1,3 · 3 = 6 = ȳ.

Resposta

ŷ = 2,1 + 1,3x, e a previsão para x = 6 é ŷ = 9,9.

6Erros comuns

  • Calcular o resíduo como ŷ − y em vez de y − ŷ.
  • Dividir por Syy em vez de Sxx para o coeficiente angular.
  • Trocar a e b: o coeficiente angular multiplica x.
  • Esquecer que r tem o mesmo sinal que o coeficiente angular.
  • Prever muito fora do intervalo dos dados. A reta pode não valer ali.
Autoavaliação A reta é ŷ = 2,1 + 1,3x. Um novo ponto (6, 8) é medido. Qual é o seu resíduo?
  1. 1,9
  2. 17,9
  3. 9,9
  4. −1,9

Resposta: −1,9. ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 9,9, então e = y − ŷ = 8 − 9,9 = −1,9. O ponto fica abaixo da reta. 1,9 calcula ŷ − y, o sentido errado.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: coeficiente angular e intercepto. Cinco pares em uma tabela; encontre b ou a da reta de mínimos quadrados.
  • Médio: o coeficiente de correlação r, a partir dos dados ou de somas dadas.
  • Difícil: previsão. Use a reta para prever ŷ para um novo x, ou encontre o resíduo de uma nova observação.

Uma verificação rápida: o sinal de b e de r deve coincidir com a direção do diagrama de dispersão.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
xy2441262082210301235xy510102030

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Encontre o intercepto a.

n = 6

Calcule a

Mostrar dicas
  1. Primeiro encontre a inclinação b = Sxy/Sxx.
  2. x̄ = 7, ȳ = 20,5.
  3. A reta passa por (x̄, ȳ), então a = ȳ − b·x̄.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20,5

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

Inclinação

b = 211/70 = 3,014

Intercepto

a = 20,5 − 3,014·7 = −0,6

Resposta

a = −0,6
Exemplo 2Média
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

Calcule r

Mostrar dicas
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

Coeficiente de correlação

r = 403/√(70·2443) = 0,9746

Resposta

r = 0,9746
Exemplo 3Difícil
xy123221318412513xy241520x = 1,5

A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 1,5.

n = 5x = 1,5

Calcule ŷ

Mostrar dicas
  1. Primeiro encontre a reta de mínimos quadrados: b = Sxy/Sxx e a = ȳ − b·x̄.
  2. x̄ = 3, ȳ = 17,4.
  3. ŷ = a + b·1,5.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17,4

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Reta de regressão

b = −29/10 = −2,9
a = 17,4 − (−2,9)·3 = 26,1
ŷ = 26,1 − 2,9·x

Previsão

ŷ = 26,1 + (−2,9)·1,5 = 21,75

Resposta

ŷ = 21,75

Perguntas e respostas

Regressão linear e correlação: o que é?

Você mede duas grandezas para cada caso, por exemplo x = horas estudadas e y = nota da prova. Cada par é um ponto em um diagrama de dispersão.

Se os pontos ficam mais ou menos ao longo de uma reta, você pode descrevê-los com uma reta e usá-la para prever y a partir de x. Isso é a regressão linear.

Regressão linear e correlação: como resolver os exercícios passo a passo?

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Regressão linear e correlação: quais são os erros mais comuns?
  • O intercepto é a = ȳ − b·x̄: a reta passa por (x̄, ȳ).
  • ȳ é a altura da reta em x = x̄, e não em x = 0. Use a = ȳ − b·x̄.
  • Use o mesmo divisor (n ou n − 1) na covariância e nos dois desvios-padrão. Com Sxy, Sxx e Syy os divisores se cancelam.
Regressão linear e correlação: o que se pratica?
  • Fácil: inclinação e intercepto
  • Média: coeficiente de correlação
  • Difícil: previsão

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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