Vetores: produto escalar e vetorial: exercícios com soluções passo a passo

Também chamado: produto escalar · produto vetorial · produto interno

Exercícios grátis de Vetores: produto escalar e vetorial com diagramas, dicas e soluções completas resolvidas. Valores novos a cada vez, em três níveis: módulo e componentes, produto escalar, produto vetorial e momentos.

Exercício gratuitoFácil
xyza

Encontre o módulo |a| do vetor a = (6, −5, 9).

a = (6, −5, 9)
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Pratique Vetores: produto escalar e vetorial de graçaPratique Vetores: produto escalar e vetorial agora5 exercícios grátis todos os dias. Sem cartão.

O que você pratica

  1. Fácilmódulo e componentes
  2. Médiaproduto escalar
  3. Difícilproduto vetorial e momentos

Como resolver exercícios de Vetores: produto escalar e vetorial

  1. Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
  2. Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
  3. Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Erros comuns

  • Somar módulos em vez de componentes.
  • Errar o sinal da componente do meio (y) de um produto vetorial.
  • Usar a posição do ponto em vez de r = A − O em um momento.
  • Calcular o arctan sem verificar o quadrante.

Fórmulas principais

Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vetor unitário
û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabalho
W = F·d
Produto vetorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O
MO = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo
V = |a·(b × c)|

Aprenda Vetores: produto escalar e vetorial do zero

1O que é um vetor

Algumas grandezas precisam apenas de um número: uma massa de 5 kg ou uma temperatura de 20 °C. Essas são escalares.

Outras grandezas também precisam de uma direção. Uma força de 40 N empurrando para cima é muito diferente de 40 N empurrando de lado. Essas são vetores.

Você descreve um vetor por suas componentes: quanto ele alcança ao longo de x, de y e de z. O vetor a = (4, 3, 0) alcança 4 unidades ao longo de x, 3 ao longo de y e 0 ao longo de z.

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

Forças, deslocamentos e velocidades são todos vetores. Engenheiros usam a matemática vetorial para somar forças, encontrar ângulos e calcular momentos em três dimensões.

Os vetores se somam componente por componente: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). É assim que se encontra a resultante de várias forças.

Autoavaliação Qual é o comprimento do vetor a = (3, 4, 0)?
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Resposta: 5. O comprimento é √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5. Somar as componentes (7) está errado porque elas são perpendiculares, e 25 esquece a raiz quadrada.

2Comprimento, direção e componentes

O módulo |a| é o comprimento do vetor. É Pitágoras em três dimensões:

|a| = √(ax² + ay² + az²)

Um vetor unitário tem comprimento 1 e aponta na mesma direção. Você o obtém dividindo cada componente pelo módulo:

û = a / |a|

Para a = (0, 3, 4) o módulo é 5, então û = (0, 0,6, 0,8). Confira: 0,6² + 0,8² = 1.

Uma força no plano xy costuma ser dada por um valor F e um ângulo θ, medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. Suas componentes são:

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

O cosseno e o seno dão os sinais automaticamente. Uma força a 120° tem componente x negativa porque cos 120° = −0,5.

Voltando das componentes a um ângulo, arctan(Ry/Rx) só dá respostas entre −90° e 90°. Se Rx for negativo, some 180°. Se só Ry for negativo, some 360°.

Autoavaliação Qual é a componente y do vetor unitário na direção de a = (0, 3, 4)?
  1. 0,12
  2. 0,43
  3. 0,6
  4. 3

Resposta: 0,6. Divida pelo módulo 5: 3/5 = 0,6. 3 esquece de dividir, 0,12 divide por |a|² = 25, e 0,43 divide pela soma das componentes (7).

3O produto escalar e o produto vetorial

Há duas maneiras de multiplicar dois vetores. O produto escalar dá um número. O produto vetorial dá um novo vetor.

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

Aqui θ é o ângulo entre os dois vetores. O produto escalar mede o quanto os vetores apontam para o mesmo lado. É zero quando são perpendiculares.

dFθ|F|·cos θ
  • O ângulo: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
  • A projeção escalar de a sobre b (a parte de a ao longo de b): a·b / |b|.
  • O trabalho realizado por uma força constante ao longo de um deslocamento: W = F·d.
  • Dois vetores são perpendiculares quando a·b = 0.

O produto vetorial a × b é um vetor perpendicular a a e a b. Seu comprimento é igual à área do paralelogramo definido pelos dois vetores.

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

Para a = (1, 2, 0) e b = (3, 1, 0): a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). O paralelogramo tem área 5 e o triângulo, metade disso, 2,5.

A ordem importa: b × a = −(a × b). O momento de uma força F aplicada no ponto A em relação ao ponto O é M = r × F, com r = A − O.

Autoavaliação Para a = (2, 1, 0) e b = (1, 4, 0), qual é a componente z de a × b?
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

Resposta: 7. componente z = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. −7 é b × a (a ordem trocada), 6 é o produto escalar, e 9 soma os dois produtos em vez de subtraí-los.

4O método passo a passo

  1. Escreva todo vetor em componentes. Para uma força dada por valor e ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
  2. Se a questão der pontos, construa os vetores a partir deles: o vetor de A a B é B − A.
  3. Decida de qual ferramenta precisa. Comprimentos e direções: módulo e vetor unitário. Ângulos, projeções e trabalho: produto escalar. Áreas, vetores perpendiculares e momentos: produto vetorial.
  4. Escreva primeiro a fórmula, depois coloque os números uma componente de cada vez. Mantenha os sinais entre parênteses.
  5. Confira o resultado: um vetor unitário tem comprimento 1, a × b é perpendicular a a (então a·(a × b) = 0), e um ângulo entre vetores fica entre 0° e 180°.

Para um vetor unitário perpendicular a dois vetores, tome n = a × b e divida-o pelo seu comprimento. Se a questão quiser uma componente z positiva e a sua for negativa, inverta todos os sinais.

O volume do paralelepípedo com arestas a, b e c é |a·(b × c)|: primeiro o produto vetorial, depois o produto escalar.

5Um exemplo resolvido

Acompanhe cada passo. Tente prever o próximo antes de abri-lo.

Exemplo resolvido

Uma força constante F = (6, 2, −3) N empurra um objeto em linha reta do ponto A(1, 0, 2) ao ponto B(3, 4, 2). As coordenadas estão em metros. Encontre o trabalho W realizado pela força e o ângulo θ entre a força e o deslocamento.

1

Monte o deslocamento

O deslocamento é o vetor de A a B: subtraia o início do fim.

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

Trabalhe com o produto escalar

O trabalho é o produto escalar da força pelo deslocamento. Multiplique as componentes correspondentes e some.

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

Os dois módulos

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4,472 m
4

O ângulo

dFθ|F|·cos θ

Use a outra forma do produto escalar, F·d = |F|·|d|·cos θ, e resolva para cos θ.

cos θ = 20 / (7 · 4,472) = 0,6389
θ = arccos 0,6389 ≈ 50,3°
5

Verifique a resposta

O trabalho é positivo, então o ângulo deve ser menor que 90°. E é.

A parte da força ao longo do movimento é |F|·cos θ = 7 · 0,6389 ≈ 4,47 N. Vezes a distância de 4,472 m, isso dá 20 J de novo.

Resposta

W = 20 J e θ ≈ 50,3°.

6Erros comuns

  • Somar módulos em vez de componentes. Duas forças de 3 N e 4 N em ângulo reto dão 5 N, não 7 N.
  • Usar as coordenadas do ponto em vez de r = A − O num momento.
  • Errar o sinal da componente do meio (y) de um produto vetorial. É azbx − axbz, não o contrário.
  • Trocar a ordem num produto vetorial. b × a aponta no sentido oposto a a × b.
  • Usar arctan para uma direção sem verificar em qual quadrante o vetor está.
  • Esquecer o ½ da área de um triângulo: é a metade de |AB × AC|.
Autoavaliação Uma força F = (0, 10, 0) N age no ponto A(3, 0, 0) m. Qual é o módulo do seu momento em relação a O(1, 0, 0) m?
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

Resposta: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, então M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. Usar o próprio ponto A como r dá 30 N·m, A + O dá 40 N·m, e só O dá 10 N·m.

7Como são as questões de prova

  • Fácil: módulo e componentes. O comprimento de um vetor, uma componente de um vetor unitário, uma componente de uma força dada por valor e ângulo, ou o módulo ou a direção da resultante de duas forças.
  • Médio: o produto escalar. Um produto escalar, o ângulo entre dois vetores, uma projeção escalar, o trabalho realizado por uma força entre dois pontos, ou o valor de k que torna dois vetores perpendiculares.
  • Difícil: o produto vetorial e momentos. Uma componente de a × b, a área de um paralelogramo ou triângulo, o momento de uma força em relação a um ponto, um vetor normal unitário, ou o volume de um paralelepípedo a partir de um produto misto.

Para uma questão de perpendicularidade, faça a·b = 0. Isso dá uma equação linear em k.

Para um triângulo com vértices A, B e C, use os vetores das arestas AB = B − A e AC = C − A. A área é ½·|AB × AC|.

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Exemplos resolvidos

Exemplo 1Fácil
xy135°F1​F2​

Duas forças atuam em um ponto do plano xy: F₁ = 110 N a 0° e F₂ = 190 N a 135°, ambos medidos no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. Encontre a direção φ da resultante, medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo (entre 0° e 360°).

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

Calcule φ (°)

Mostrar dicas
  1. Decomponha cada força em componentes x e y.
  2. Some as componentes x e as componentes y separadamente.
  3. Rₓ = −24,35 N, Ry = 134,4 N.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

Componentes da resultante

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24,35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134,4 N

Direção

Rₓ é negativo, então a resultante aponta para o segundo ou o terceiro quadrante: some 180° ao ângulo da calculadora.

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134,4/−24,35) = −79,73°
φ = 100,3°

Resposta

φ = 100,3°
Exemplo 2Média
xyzab

Encontre o valor de k para o qual os vetores a = (−4, −4, 0) e b = (k, 6, 4) são perpendiculares.

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

Calcule k

Mostrar dicas
  1. Vetores perpendiculares têm produto escalar nulo.
  2. Escreva a·b = 0 com k como incógnita e resolva a equação linear.
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produto escalar igual a zero

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

Resolver para k

k = −(−24)/(−4) = −6

Resposta

k = −6
Exemplo 3Difícil
xyzABC

Encontre a área A do triângulo de vértices A(−3, −4, −1), B(−4, 3, −3) e C(1, 4, −4). As coordenadas estão em metros.

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

Calcule A (m²)

Mostrar dicas
  1. Forme dois vetores de aresta a partir do mesmo vértice: AB = B − A e AC = C − A.
  2. A área é ½·|AB × AC|.
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
Mostrar a resposta e a solução passo a passo

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Vetores das arestas

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

Produto vetorial

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37,97

Área do triângulo

A = ½·37,97 = 18,99 m²

Resposta

A = 18,99 m²

Perguntas e respostas

Vetores: produto escalar e vetorial: o que é?

Algumas grandezas precisam apenas de um número: uma massa de 5 kg ou uma temperatura de 20 °C. Essas são escalares.

Outras grandezas também precisam de uma direção. Uma força de 40 N empurrando para cima é muito diferente de 40 N empurrando de lado. Essas são vetores.

Vetores: produto escalar e vetorial: como resolver os exercícios passo a passo?
  1. Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
  2. Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
  3. Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.
Vetores: produto escalar e vetorial: quais são os erros mais comuns?
  • Somar módulos em vez de componentes.
  • Errar o sinal da componente do meio (y) de um produto vetorial.
  • Usar a posição do ponto em vez de r = A − O em um momento.
  • Calcular o arctan sem verificar o quadrante.
Vetores: produto escalar e vetorial: o que se pratica?
  • Fácil: módulo e componentes
  • Média: produto escalar
  • Difícil: produto vetorial e momentos

Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta. Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.

Como a prática funciona

  • Cada exercício tem valores novos, então você aprende o método em vez de decorar uma resposta.
  • Travou? Abra primeiro uma dica pequena, e a explicação completa só quando precisar.
  • Seu progresso, seus erros e seus exercícios salvos ficam guardados, para você revisar antes da prova.

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